Question

Координаты треугольника A(-5;9) B(7;0) C(5;14).
Найти:
1) уравнения сторон AB и AC и их угловые коэффициенты;
2) угол A в радианах (градусах) с точностью до двух знаков после запятой;
3) уравнение высоты CD и ее длину;
4) уравнение медианы AE и координаты точки K пересечения этой медианы с высотой CD .
Сделать чертеж.

Answer 1

Даны координаты вершин треугольника: A(-5; 9), B(7; 0), C(5; 14).

1) уравнения сторон AB и AC и их угловые коэффициенты;

Находим векторы АВ и АС:

АВ: (12; -9), АС:(10; 5).

Получаем уравнения:

АВ: (х + 5)/12 = (у - 9)/(-9),

АС: (х + 5)/10 = (у - 9)/5.

Угловые коэффициенты сторон      

Кав = Ув-Уа =  -9/12 = -0,75.

 Хв-Ха

Квс = Ус-Ув = 14/(-2) = -7.

 Хс-Хв

Кас = Ус-Уа = 5/10 = 0,5.

 Хс-Ха  

2) угол A в радианах (градусах) с точностью до двух знаков после запятой. Находим по теореме косинусов.

Находим длины сторон.

АВ (с) = √((Хв-Ха)²+(Ув-Уа)²) = √225 =  15.

BC (а)= √((Хc-Хв)²+(Ус-Ув)²) = √200 ≈   14,142.

AC (в) = √((Хc-Хa)²+(Ус-Уa)²) = √125 ≈  11,18.

cos A = (225 + 125 - 200)/(2*15*√125 = 150/(30√125) = √5/5.

A = arc cos(√5/5) ≈ 1,107148718 ≈ 1,11 радиан .

3) уравнение высоты CD и ее длину.

Находим площадь треугольника по формуле:

S=(1/2)*|(Хв-Ха)*(Ус-Уа)-(Хс-Ха)*(Ув-Уа)|.

Подставив координаты точек, получаем S = 75 кв.ед.      

Длина СD = 2S/AB = 2*75/15 = 10.

k(CD) = -1/k(AB) = -1/(-3/4) = 4/3.

Уравнение: у = (4/3)х + в. Подставим координаты точки С.

14 = (4/3)*5 + в, отсюда в  = 14 - (20/3) = 22/3.

Уравнение CD: y = (4/3)x + (22/3)

4) уравнение медианы AE и координаты точки K пересечения этой медианы с высотой CD .

Точка Е как середина ВС: ((7+5)/2=6; (0+14)/2=7) = (6; 7).

Вектор АЕ: (11; -2)

Уравнение АЕ: (х + 5)/11 = (у - 9)/(-2).

Приведём к виду с угловым коэффициентом:

у = (-2/11)х + (89/11).

Точка К как пересечение AE и CD.

Приравниваем:  (-2/11)х + (89/11) =  (4/3)x + (22/3),

(-50/33)х = (-25/33).

Отсюда х = (1/2), у = 8.