Question

Обчислити подвійний інтеграл ​

Answer 1

Уравнение прямой, проходящей через точки A и В: y - x = 0

Уравнение прямой, проходящей через точки B и C: x + y = 2

Уравнение прямой, проходящей через точки A и C: y = 0

Разобьем область прямой x = 1 на две области.

$\displaystyle \iint_D(x-y)dxdy=\int^1_0dx\int^x_0(x-y)dy+\int^2_1dx\int^{2-x}_0(x-y)dy=\\ \\ \\=\int^1_0\left[\left(xy-\dfrac{y^2}{2}\right)\bigg|^x_0\right]dx+\int^2_1\left[\left(xy-\dfrac{y^2}{2}\right)\bigg|^{2-x}_0\right]dx=\\ \\ \\ =\int^1_0\left(x^2-\dfrac{x^2}{2}\right)dx+\int^2_1\left(2x-x^2-\dfrac{(2-x)^2}{2}\right)dx=\\ \\ \\ =\int^1_0\dfrac{x^2}{2}dx+\int^2_1\left(2x-x^2-\dfrac{4-4x+x^2}{2}\right)dx=\int^1_0\dfrac{x^2}{2}dx+$

$\displaystyle+\int^2_1\left(4x-2-\dfrac{3x^2}{2}\right)dx=\dfrac{x^3}{6}\bigg|^1_0+\left(2x^2-2x-\dfrac{x^3}{2}\right)\bigg|^2_1=\\ \\ \\ =\dfrac{1}{6}+2\cdot 2^2-2\cdot 2-\dfrac{2^3}{2}-\left(2\cdot 1^2-2\cdot 1-\dfrac{1^3}{2}\right)=\dfrac{2}{3}$