ДАЮ 100 БАЛЛОВ
1. Волк увидел косулю в нескольких метрах от себя и погнался за ней по прямой лесной тропе. Прыжок волка на 22% короче прыжка косули. Оба животных прыгают с постоянной скоростью. Все прыжки косули имеют одинаковую длину, прыжки волка тоже равны между собой. Существует промежуток времени, за который и волк и косуля делают по некоторому целому числу прыжков. При этом каждый раз оказывается, что волк сделал на t% прыжков больше, чем косуля. Найдите наибольшее целое значение t, при котором волк не сможет догнать косулю.
2. Дана прямоугольная трапеция АВСЕ, основания которой (ВС меньше АЕ) равны 5 и 7. Меньшая боковая сторона АВ=ВС. На АВ отмечена точка F, так что ВF: FА=2:3; на АС отмечена точка G, так что АG: GС=4:1; на АЕ отмечена точка D, так что АD: DЕ=5:2. Определите градусную меру угла DFG.
Ответы
1. Прыжок волка на 22% короче прыжка косули.
Если длина прыжка косули х м, то длина прыжка волка 0,78х м.
За какое-то время T косуля делает у прыжков.
А волк делает на t% больше, то есть
y(1 + t/100) прыжков.
За это время T косуля упрыгает на xy м (y прыжков по х м).
А волк пропрыгает 0,78x*y(1 + t/100) м.
И волк не должен догнать косулю.
0,78xy(1 + t/100) < xy
0,78(1 + t/100) < 1
0,78 + 0,0078t < 1
0,0078t < 0,22
t < 0,22/0,0078 = 2200/78 = 28,2
Так как t должно быть максимальным целым, то t = 28.
Ответ: волк должен делать не более, чем на 28% больше прыжков, чем косуля.
2. Смотри рисунок.
AB = BC = AD = 5; BF = 2; AF = 3; DE = 2.
ABCD - квадрат, АС - диагональ,
AC = 5√2; AG = 4√2; CG = √2.
Проведем дополнительные линии NG, GK, FM.
Рассмотрим треугольники ACD и AGK. Они подобны.
Треугольник ACD - прямоугольный и равнобедренный, AD = DC = 5
Треугольник AGK - прямоугольный и равнобедренный, AK = KG = 4
KD = 5 - 4 = 1
Отсюда видно, что GD - диагональ прямоугольника 1 на 4.
Так как AN = 4, а AF = 3, то FN = 4 - 3 = 1.
Треугольник ANG - прямоугольный и равнобедренный, AN = NG = 4
Поэтому FG - тоже диагональ прямоугольника 1 на 4.
FG = GD = √(1^2+4^2) = √17
FD = √(3^2+5^2) = √34 = √17*√2
Треугольник FGD - равнобедренный, и основание FD в √2 раз больше, чем боковые стороны FG и GD.
Это значит, что FGD ещё и прямоугольный треугольник.
Угол а = GFD = FDG = 45°.
Ответ: а = 45°
