Question

$|x - 2| + a |x + 3| = 5$
Решить этот пример(желательно с объяснением).​

Answer 1

Решим уравнение $|x-2| + a|x+3| = 5$ в зависимости от значений параметра (постоянной) $a$

Применим классическое решение уравнения типа $|f(x)| + |g(x)| = a$

1) Найдем те значения $x$, при которых обнуляются модули - это $x = 2$ и $x = -3$

2) Выставим на координатной оси $x$ эти значения:

$----|----|---> x\\.\ \ \ \ \ \ \ \ -3 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 2$

3.1) Рассмотрим промежуток $x \in (-\infty; -3]$:

Выясним значение выражений подмодульных выражений:

$x - 2 < 0\\x + 3 < 0$

Раскроем данные модули. Если подмодульное выражение меньше нуля, то для того чтобы его раскрыть, нужно изменить знак выражение, тем самым модуль раскроется с неотрицательным выражением.

$-(x-2) -a(x+3) = 5\\-x + 2 - ax - 3a = 5\\x + ax = -3 - 3a \\x(1 + a) = -3(1 + a)$

Если $a = -1$, то $0 \cdot x = -3 \cdot 0$, что верно при любых $x$ из рассматриваемого промежутка

Если $a\neq -1$, то $x = -3$

3.2. Рассмотрим промежуток $x \in (-3; \ 2)$:

Выясним значение выражений подмодульных выражений:

$x - 2 < 0 \\ x + 3 > 0$

Раскроем данные модули:

$-(x-2) + a(x+3) = 5\\-x + 2 + ax + 3a = 5\\ax - x = 3 - 3a\\x(a - 1) = -3(a - 1)$

Если $a = 1$, то $0 \cdot x = -3 \cdot 0$, что верно при любых $x$ из рассматриваемого промежутка

Если $a\neq 1$, то $x = -3$

Однако, 3 не входит в данный интервал, который мы рассматриваем.

3.3. Рассмотрим промежуток $x \in [2; \ +\infty)$:

Выясним значение выражений подмодульных выражений:

$x - 2 > 0\\x + 3 > 0$

Раскроем данные модули:

$x - 2 + a(x+3) = 5\\x - 2 + ax + 3a = 5\\x + ax = 7 - 3a\\x(1 + a) = 7 - 3a$

Если $a = -1$, то $0 \cdot x = 10$, что неверно ни при каких $x$

Если $a\neq -1$, то $x = \dfrac{7 - 3a}{1 + a}$

Рассмотрим данный ответ на заданном интервале. Этот ответ нам подойдет, если выполниться условие:

$\dfrac{7 - 3a}{1 + a} \geq 2\\\\\dfrac{7 - 3a}{1 + a} - 2 \geq 0\\\\\dfrac{7 - 3a - 2 - 2a}{1 + a} \geq 0\\\\\dfrac{5 - 5a}{1 + a} \geq 0$

Решим данное неравенство методом интервалов:

1) $a \neq -1$

2) $5 - 5a = 0; \ 5a = 5; \ a = 1$

Отметим данные точки на координатной оси $a$

$. \ \ \ \ \  - \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ + \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ - \\-----\circ-----\bullet-----> a\\. \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -1 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 1$

Таким образом, $a \in (-1; \ 1]$

Ответ:

• Если $a \in (- \infty; -1) \cup (1; +\infty)$, то $x = -3$
• Если $a = -1$, то $x \in (-\infty; -3)$
• Если $a \in (-1; 1)$, то $x = \dfrac{7 - 3a}{1 + a}$ и $x = -3$
• Если $a = 1$, то $x \in [-3; 2]$