Question

1. Даны точки А(3;2; 1), B(-1;0;-2), С(2;1;3), D(3;-1;-2). Найти:
1) общее уравнение плоскости ABC;
2) расстояние от точки D до плоскости ABC;
3) канонические уравнения прямой, проходящей через точку В параллельно
прямой AD;
4) синус угла между плоскостью ABC и прямой AD.​

Answer 1

$A(3,2,1,)\; \; ,\; \; B(-1,0,-2)\; ,\; \; C(2,1,3)\; ,\; \; D(3,-1,-2)\\\\1)\; \; \left|\begin{array}{rrr}x-3&y-2&z-1\\-4&-2&-3\\-1&-1&2\end{array}\right|=-7\, (x-3)-11(y-2)+2(z-1)=0\\\\\\ABC:\; \; -7x-11y+2z+41=0\; \; ,\; \; \; \underline {7x+11y-2z-41=0}\\\\\\2)\; \; d=\frac{|\, Ax_0+By_0+Cz_0+D\, |}{\sqrt{A^2+B^2+C^3}}=\frac{|\, 21-11+2-41\, |}{\sqrt{7^2+11^2+2^2}}=\frac{29}{\sqrt{174}}$

$3)\; \; B(-1,0,-2)\in l\; \; ,\; \; l\parallel \overline {AD}\; \; ,\; \; \overline {AD}=(0,-3,-3)\\\\l:\; \; \frac{x+1}{0}=\frac{y}{-3}=\frac{z+2}{-3}\; \; ,\; \; \; \underline {\; \frac{x+1}{0}=\frac{y}{3}=\frac{z+2}{3}\; }\\\\\\4)\; \; \vec{n}=(7,11,-2)\\\\sin\varphi =\frac{|(\overline {AD}\, ,\, \vec{n})|}{|\overline {AD}|\cdot |\vec{n}|}=\frac{|\, 0-33+6\, |}{\sqrt{0^2+3^2+3^2}\cdot \sqrt{7^2+11^2+2^2}}=\frac{27}{\sqrt{18}\cdot \sqrt{174}}=\frac{9}{2\sqrt{87}}$