Question

В треугольнике ABC сторона AC больше стороны AB. Верно ли, что медиана, проведённая из вершины B, меньше медианы, проведённой из вершины C?

Answer 1

Ответ:

верно

Объяснение:

Введем обозначения:

АВ = с,

АС = b,

ВС = а.

$m_{b}$ - медиана, проведенная из вершины В,

$m_{c}$ - медиана, проведенная из вершины С.

По формуле медианы:

$m_{c}^{2}=\dfrac{1}{2}(2a^{2}+2b^{2}-c^{2})$

$m_{b}^{2}=\dfrac{1}{2}(2a^{2}+2c^{2}-b^2)$

Обе формулы домножим на 2 и вычтем из первой вторую:

$2m_{c}^{2}=2a^{2}+2b^{2}-c^{2}$

$2m_{b}^{2}=2a^{2}+2c^{2}-b^{2}$

$2m_{c}^{2}-2m_{b}^{2}=2a^{2}+2b^{2}-c^{2}-2a^{2}-2c^{2}+b^{2}=3b^{2}-3c^{2}=3(b^{2}-c^{2})$

b > c по условию, значит

3(b² - c²) > 0, тогда и

$2m_{c}^{2}-2m_{b}^{2}>0$

а это значит, что $m_{c}>m_{b}$

т.е. медиана, проведенная из вершины В, меньше медианы, проведенной из вершины С.