Question

ДАЮ 50 баллов! Помогите ответить на вопросы 5 и 9.

Answer 1

№ 5.

Уравнение Менделеева-Клапейрона для идеального газа гласит:

$PV = \nu RT$  ;

В изохорном (изохорическом) процессе:  $\Delta V = 0$  и  $\Delta A = 0 \ \ (V = const)$  , а значит, при неизменном  $\nu = const$  :

$V = \frac{\nu RT}{P} = const$  ;

$\frac{T}{P} = \frac{V}{\nu R} = const$  ;

$\frac{T_0}{P_0} = \frac{T_1}{P_1}$  ;

В изобарном (изобарическом) процессе:  $\Delta P = 0 \ \ (P = const)$  , а значит, при неизменном  $\nu = const$  :

$P = \frac{\nu RT}{V} = const$  ;

$\frac{T}{V} = \frac{P}{\nu R} = const$  ;

$\frac{T_0}{V_0} = \frac{T_1}{V_1}$  ;

В изотермном (изотермическом) процессе:  $\Delta T = 0$  и  $\Delta U = 0 \ \ (T = const)$  , а значит, при неизменном  $\nu = const$  :

$PV = \nu RT = const$  ;

$P_0 V_0 = P_1 V_1$  ;

№ 9.

Пусть внутри параллелепипеда движется только одна молекула со скоростью  $v$  вдоль стороны параллелепипеда  $l$  , налетая время от времени на противоположные стенки площади  $S$  .

Пусть молекула, перед очередным ударом, имеет импульс  $\overrightarrow{p_o} = m_o \overrightarrow{v}$  . Сразу после удара её импульс изменится на противоположный  $-\overrightarrow{p_o} = -m_o \overrightarrow{v}$  . Изменение её импульса  $2p_o = 2m_o v$  в соответствии с законом сохранения импульса равно импульсу, который отдаётся стенке, о которую ударяется молекула.

Молекуле требуется время  $\Delta t = \frac{2l}{v}$  для преодоления всего параллелепипеда и повторного удара о ту же стенку. Стало быть, за время  $\Delta t$  стенке передаётся импульс  $2m_o v$  . А в единицу времени стенке передаётся импульса:

$\frac{\Delta p_o}{\Delta t} = \frac{2m_o v}{2l/v} = \frac{m_o v^2}{l}$  ;

Если в этом параллелепипеде рассматривать всего 3 молекулы, движущиеся в направлениях, перпендикулярных его поверхностям, то импульс передаваемый стенке  $S$  никак не изменится.

Пусть теперь в этом параллелепипеде имеется  $N$  молекул, причём только  $\frac{N}{3}$  из них движутся со скоростью  $v$  вдоль стороны  $l$  , тогда в единицу времени стенке будет передаваться импульса:

$\frac{\Delta p}{\Delta t} = \frac{\Delta p_o}{\Delta t} \cdot \frac{N}{3} = \frac{Nm_o v^2}{3l}$  ;

Стенка параллелепипеда в целом не движется, значит, весь передаваемый ей импульс со стороны молекул гасится силой упругости стенки:

$\Delta p = F_{ynp} \Delta t$  .

Упругость стенки сосуда будет создавать точно такую силу (по III зак.Ньютона), с которой молекулы изнутри параллелепипеда давят на неё, так что сила давления молекул:

$F = F_{ynp} = \frac{\Delta p}{\Delta t} = \frac{Nm_o v^2}{3l}$  .

Давления на стенку:

$P = \frac{F}{S} = \frac{Nm_o v^2}{3lS} = \frac{Nm_o v^2}{3V} = \frac{N}{V} \frac{m_o v^2}{3}$  .

$P = \frac{N}{V} \frac{m_o v^2}{3} = \frac{nm_o v^2}{3}$  , где  $n$  – полная концентрация молекул в сосуде.

Это  $P = \frac{nm_o v^2}{3}$  и есть уже почти основное уравнение МКТ. Мы вывели его с двумя сильными допущениями: что все молекулы движутся только по трём основным направлениям, и что у всех молекул одинаковая по модулю скорость. Но это не так на самом деле. Так что рассмотрим эти допущения.

Какая-то i-ая молекула имеют какую-то хаотичную скорость  $\overrightarrow{v_i} (v_x, v_y, v_z)$  , и для всех молекул эти скорости различны. Эта единственная i-ая молекула создаёт среднее давление  $P_i = \frac{1}{S} \cdot \frac{\Delta p_i}{\Delta t} = \frac{2m_o v_{ix}}{2lS/v_{ix}} = \frac{m_o v_{ix}^2}{V}$  .

(*) Все молекулы создают давление:  $P = \Sigma P_i = \Sigma \frac{m_o v_{ix}^2}{V} = \frac{m_o}{V} \Sigma v_{ix}^2$  .

Нет никаких причин считать, что сумма квадратов составляющих скоростей всех молекул по оси Ox –  $\Sigma v_{ix}^2$  может отличаться от суммы квадратов составляющих скоростей всех молекул по оси Oy –  $\Sigma v_{iy}^2$  , как и по оси Oz –  $\Sigma v_{iz}^2$  .

$\Sigma v_{ix}^2 = \Sigma v_{iy}^2 = \Sigma v_{iz}^2$  .

С другой стороны:

$\Sigma v_{ix}^2 + \Sigma v_{iy}^2 + \Sigma v_{iz}^2 = \Sigma (v_{ix}^2 + v_{iy}^2 + v_{iz}^2) = \Sigma v_i^2 = 3 \Sigma v_{ix}^2$  .

$\Sigma v_{ix}^2 = \frac{1}{3} \Sigma v_i^2$  .

Введём такое понятие, как среднеквадратичная скорость:  $\langle v \rangle = \sqrt{ \frac{ \Sigma v_i^2 }{N} }$  , где  $N$  – полное число молекул. Тогда:

$\Sigma v_{ix}^2 = \frac{1}{3} \Sigma v_i^2 = \frac{N}{3} \frac{ \Sigma v_i^2 }{N} = \frac{N}{3} \langle v \rangle^2$  .

Возвращаясь к (*):

$P = \frac{m_o}{V} \Sigma v_{ix}^2 = \frac{m_o}{V} \cdot \frac{N}{3} \langle v \rangle^2 = \frac{1}{3} \cdot \frac{N}{V} m_o \langle v \rangle^2$  .

$P = \frac{1}{3} \cdot n m_o \langle v \rangle^2$  (выведено).