Question

Вычислите:

cos(3) + cos(6) + cos(9) + ... + cos(2019)

(это будет равно
- (cos(3) + cos(6) + cos(9) + ... + cos(39)),
а что дальше?)

Answer 1

Ответ:

$\frac{ \cos(1011) ( \sin(1008) + \sin(1011) )}{ \cos(3) }$

Объяснение:

Домножим и разделим сумму на cos3:

$\frac{ \cos(3) \cos(3) + \cos(6) \cos(3) + \cos(9) \cos(3) + ... + \cos(2019) \cos(3) }{ \cos(3) }$

рассмотрим числитель:

$\cos(3) \cos(3) + \cos(6) \cos(3) + \cos(9) \cos(3) + ... + \cos(2019) \cos(3) = \\ = \frac{1}{2} ( \sin(6) - \sin(0) ) + \\ + \frac{1}{2} ( \sin(9) - \sin(3) ) + \\ + \frac{1}{2} ( \sin(12) - \sin(6) ) + \\ + ... + \frac{1}{2} ( \sin(2019) - \sin(2013) ) + \\ + \frac{1}{2} ( \sin(2022) - \sin(2016) ) = \\ = \frac{1}{2} ( \sin(2019) + \sin(2022) - \sin(0) - \sin(3) ) = \\ = \frac{1}{2} ( \sin(2019) - \sin(3) ) + \frac{1}{2} ( \sin(2022) - \sin(0) ) = \\ = \frac{1}{2} \times 2 \cos(1011) \sin(1008) + \frac{1}{2} \times 2 \cos(1011) \sin(1011) = \\ = \cos(1011) ( \sin(1008) + \sin(1011) )$

итого имеем искомую сумму:

$\frac{ \cos(1011) ( \sin(1008) + \sin(1011) )}{ \cos(3) }$