Question

В партии 120 лампочек, из них 70 изготовлены на первом заводе, 50 — на втором. Продукция первого завода содержит 80% стандартных ламп, второго —60%. Найти вероятность события A = {НАУДАЧУ ВЗЯТЫЕ
ДВЕ ЛАМПОЧКИ ЯВЛЯЮТСЯ СТАНДАРТНЫМИ}. Если событие
A произошло, то какова вероятность, что обе лампочки
изготовлены на первом заводе

Answer 1

Пусть C — первая деталь окажется стандартной. Гипотезы:

H₁ - деталь изготовлена первым заводом;

H₂ - деталь изготовлена вторым заводом;

$P(C|H_1)=0.8;\\ P(C|H_2)=0.6\\ P(H_1)=\dfrac{70}{120}=\dfrac{7}{12}\\ P(H_2)=\dfrac{50}{120}=\dfrac{5}{12}$

Вероятность события А по формуле полной вероятности

$P(C)=P(C|H_1)P(H_1)+P(C|H_2)P(H_2)=\dfrac{7}{12}\cdot0.8+\dfrac{5}{12}\cdot 0.6=\dfrac{43}{60}$

По формуле Байеса, вероятность того, что эта деталь изготовлена первым заводом, равна:

$P(H_1|C)=\dfrac{P(C|H_1)P(H_1)}{P(C)}=\dfrac{0.8\cdot\dfrac{7}{12}}{\dfrac{43}{60}}=\dfrac{28}{43}$

Аналогично, пусть В — вторая деталь окажется стандартной. Так как одна деталь уже вынута, то в партии остается 119 лампочек, из них 69 изготовлены на первом заводе.

$P(B|H_1)=0.8;\\ P(B|H_2)=0.6;\\ P(H_1)=\dfrac{69}{119}\\ \\ P(H_2)=\dfrac{50}{119}$

По формуле полной вероятности, вероятность события В:

$P(B)=P(B|H_1)P(H_1)+P(B|H_2)P(H_2)=0.8\cdot\dfrac{69}{119}+0.6\cdot\dfrac{50}{119}=\dfrac{426}{595}$

По формуле Байеса, вероятность того, что эта деталь изготовлена первым заводом, равна:

$P(H_1|B)=\dfrac{P(B|H_1)P(H_1)}{P(B)}=\dfrac{0.8\cdot\dfrac{69}{119}}{\dfrac{426}{595}}=\dfrac{46}{71}$

По теореме умножения, вероятность того, что наудачу взятые две лампочки являются стандартными, равна

$P(A)=P(C)\cdot P(B)=\dfrac{43}{60}\cdot\dfrac{426}{595}=\dfrac{3053}{5950}\approx0.513$

По теореме умножения, вероятность того, что обе лампочки изготовлены на первом заводе, при условии что событие А произошло, равна:

$P=P(H_1|C)\cdot P(H_1|B)=\dfrac{28}{43}\cdot\dfrac{46}{71}=\dfrac{1288}{3053}\approx0.42$