Question

Указать, какие из данных пар функций являются эквивалентными бесконечно малыми.

Answer 1

Ответ:

1

Пошаговое объяснение:

1. $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ (первый замечательный предел)

2. $\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^2 + 5}}{e^{\frac{1}{x}}} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{(x^2 + 5)e^{\frac{1}{x}}} = \frac{1}{\infty * 1} = 0$

3. $\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3x^3}{3x^4 - 1}}{\frac{3x^4}{3x^5 - x^4}} = \lim_{x \to \infty} \frac{3x^4 - x^3}{3x^4 - 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{3 - \frac{1}{x}}{3 - \frac{1}{x^4}} = \frac{3}{3} = 1$

4. $\lim_{x \to 0} \frac{\tan^2x}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin^2x}{x^2 x \cos^2x} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{x \cos^2x} = \pm \infty$

5. $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(x + 1)}{x} = 1$ (следствие из второго замечательного предела)

$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$ (следствие из второго замечательного предела)

$\lim_{x \to 0} \frac{\ln^2(x + 1)}{e^x - 1} = \lim_{x \to 0}\frac{\ln^2(x + 1) x^2 x}{x^2 x (e^x - 1)} = \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{x} = 0$