Question

РЕБЯТ! ПОМОГИТЕ ЗАДАЧУ СРОЧНО РЕШИТЬ, ПОЖАЛУЙСТА

в тетраэдре dabc в основании лежит правильный треугольник abc, o-точка пересечения высот этого треугольника, ad=bd=cd, dab=30. Найдите косинус угла dao

Answer 1

Так как в оснований правильный треугольник, то найдем АО,точка пересечения высот - это точка пересечения медиан , биссектрис и высот! 
 
Тогда AO=AL-r , где r-радиус вписанной окружности.
$AL=sqrt{a^2-frac{a^2}{4}} = frac{sqrt{3}a}{2}\ r=frac{a}{2sqrt{3}}\ AO=frac{sqrt{3}a}{2}-frac{a}{2sqrt{3}}=frac{sqrt{3}a}{3}$
$AD=BD=CD=b\ a^2=2b^2-2b^2*cos150\ a^2=2b^2 +sqrt{3}b^2\ b=sqrt{frac{a^2}{2+sqrt{3}}}\ H=frac{sqrt{2}}{sqrt{3}}b=sqrt{frac{2a^2}{6+3sqrt{3}}}\ AD=sqrt{H^2+AO^2} = sqrt{frac{2a^2}{6+3sqrt{3}}+frac{a^2}{3}}=sqrt{frac{4+sqrt{3}}{6+3sqrt{3}}}a\ cosDAO=frac{AO}{AD}=frac{frac{sqrt{3}a}{3}}{sqrt{frac{4+sqrt{3}}{6+3sqrt{3}}}a}$