Question

ЕГЭ, 100 баллов. Хорда АВ стягивает дугу окружности , равную 120 градусов. Точка С лежит на этой дуге, а точка D лежит на хорде АВ. При этом AD = 2, BD = 1, DC =$\sqrt{2}$.

а) докажите, что угол ADC равен π/6; б) Найдите площадь треугольника АВС.

Answer 1

Вписанный угол ACB опирается на дугу 360-120=240 и равен 120.

Радиус окружности по теореме синусов

AB/sin120 =2R => R=V3

O - центр окружности.

AOB=120, AOB - равнобедренный => OAB=30

Решаем треугольник ADO, по теореме косинусов OD=1, по теореме синусов AOD=90.

AB, CE - пересекающиеся хорды.

AD*BD=CD*DE => DE=V2

CD=DE, радиус проходит через середину хорды => ODC=90

AO||CE => ADC=OAD=30 (накрест лежащие)

Высота из С - катет против угла 30 => CH=V2/2

S(ACB)= AB*CH/2 =3V2/4