Ответы
Ответ:
Приведенное квадратное уравнение - это уравнение вида
x² + bx + c = 0,
т.е. коэффициент а = 1.
Теорема Виета:
Если х₁ и х₂ корни приведенного квадратного уравнения x² + bx + c = 0, то
с = х₁ · х₂,
b = - (х₁ + х₂)
Теорема, обратная теореме Виета:
Если числа х₁ и х₂ таковы, что их сумма равна (– b), а произведение равно c, то эти числа являются корнями уравнения x² + bx + c = 0.
_______________________________________________
1.
б) x² - 9x - 1 = 0;
г) x² + 8x + 5 = 0.
_______
2.
б) x² - 4x + 1 = 0
х₁ + х₂ = 4
__________
3.
x² + px + q = 0
х₁ = 4; х₂ = 5
По теореме Виета:
p = - (х₁ + х₂) = - (4 + 5) = - 9
q = х₁ · х₂ = 4 · 5 = 20
_____________
4.
а) x² - 3x + 2 = 0
По теореме, обратной теореме Виета:
Подбираем подходящие значения х₁ и х₂:
Ответ: 1 ; 2.
б) x² + 7x + 10 = 0
По теореме, обратной теореме Виета:
Подбираем подходящие значения х₁ и х₂:
Ответ: - 2 ; - 5.
______________
5.
x² + 13x - 3 = 0
По теореме, обратной теореме Виета:
Тогда значение выражения:
х₁ + х₂ + 4х₁ · х₂ = - 13 + 4 · (- 3) = -13 - 12 = - 25
____________________
6.
х₁ = 7; х₂ = 1/7
x² + bx + c = 0
b = - (х₁ + х₂) = - (7 + 1/7) = - 50/7
c = х₁ · х₂ = 7 · 1/7 = 1
x² - 50/7x + 1 = 0 |·7
7x² - 50x + 7 = 0
_______________
8.
4x² - 9x - 1 = 0
Найти: х₁² + х₂².
Разделим уравнение на 4:
По теореме, обратной теореме Виета:
Возведем в квадрат сумму корней:
_____________
9.
4x² - 15x + 2 = 0
Разделим уравнение на 4:
По теореме, обратной теореме Виета:
Корни нового уравнение в 7 раз больше корней данного уравнения, значит:
Искомое уравнение:
| · 4
4x² - 105x + 98 = 0
_______________
10.
x² - 7x + q = 0
По теореме, обратной теореме Виета:
По условию:
Получаем систему уравнений:
Складываем уравнения:
q = х₁ · х₂ = 4 · 3 = 12
Ответ: 12