Question

Помогите!!! Самостоятельная Работа 2.2 Теорема Виета​

Answer 1

Ответ:

Приведенное квадратное уравнение - это уравнение вида

x² + bx + c = 0,

т.е. коэффициент а = 1.

Теорема Виета:

Если х₁ и х₂ корни приведенного квадратного уравнения x² + bx + c = 0, то

с = х₁ ·  х₂,

b = - (х₁ +  х₂)

Теорема, обратная теореме Виета:

Если числа х₁ и  х₂ таковы, что их сумма равна (– b), а произведение равно c, то эти числа являются корнями уравнения x² + bx + c = 0.

_______________________________________________

1.

б) x² - 9x - 1 = 0;

г) x² + 8x + 5 = 0.

_______

2.

б) x² - 4x + 1 = 0

х₁ +  х₂ = 4

__________

3.

x² + px + q = 0

х₁  = 4;  х₂ = 5

По теореме Виета:

p = - (х₁ +  х₂) = - (4 + 5) = - 9

q = х₁ · х₂ = 4 · 5 = 20

_____________

4.

а) x² - 3x + 2 = 0

По теореме, обратной теореме Виета:

$\left\{ \begin{array}{ll}x_{1}+x_{2}=3\\x_{1}\cdot x_{2}=2\end{array}$

Подбираем подходящие значения х₁ и  х₂:

$\left[ \begin{array}{ll}x_{1}=2\\x_{2}=1\end{array}$

Ответ: 1 ; 2.

б) x² + 7x + 10 = 0

По теореме, обратной теореме Виета:

$\left\{ \begin{array}{ll}x_{1}+x_{2}=-7\\x_{1}\cdot x_{2}=10\end{array}$

Подбираем подходящие значения х₁ и  х₂:

$\left[ \begin{array}{ll}x_{1}=-2\\x_{2}=-5\end{array}$

Ответ: - 2 ; - 5.

______________

5.

x² +  13x - 3 = 0

По теореме, обратной теореме Виета:

$\left\{ \begin{array}{ll}x_{1}+x_{2}=-13\\x_{1}\cdot x_{2}=-3\end{array}$

Тогда значение выражения:

х₁ +  х₂ + 4х₁ · х₂ = - 13 + 4 · (- 3) = -13 - 12 = - 25

____________________

6.

х₁ = 7;   х₂ = 1/7

x² + bx + c = 0

b = - (х₁ +  х₂) = - (7 + 1/7) = - 50/7

c = х₁ ·  х₂ = 7 · 1/7 = 1

x² - 50/7x + 1 = 0             |·7

7x² - 50x + 7 = 0

_______________

8.

4x² - 9x - 1 = 0

Найти: х₁² +  х₂².

Разделим уравнение на 4:

$x^{2}-\dfrac{9}{4}x-\dfrac{1}{4}=0$

По теореме, обратной теореме Виета:

$\left\{ \begin{array}{ll}x_{1}+x_{2}=\dfrac{9}{4}\\x_{1}\cdot x_{2}=-\dfrac{1}{4}\end{array}$

Возведем в квадрат сумму корней:

$(x_{1}+x_{2})^{2}=\dfrac{81}{16}$

$x_{1}^{2}+2x_{1}x_{2}+x_{2}^{2}=\dfrac{81}{16}$

$x_{1}^{2}-2\cdot \dfrac{1}{4}+x_{2}^{2}=\dfrac{81}{16}$

$x_{1}^{2}-\dfrac{1}{2}+x_{2}^{2}=\dfrac{81}{16}$

$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=\dfrac{81}{16}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{89}{16}$

_____________

9.

4x² - 15x + 2 = 0

Разделим уравнение на 4:

$x^{2}-\dfrac{15}{4}x+\dfrac{1}{2}=0$

По теореме, обратной теореме Виета:

$\left\{ \begin{array}{ll}x_{1}+x_{2}=\dfrac{15}{4}\\x_{1}\cdot x_{2}=\dfrac{1}{2}\end{array}$

Корни нового уравнение в 7 раз больше корней данного уравнения, значит:

$7x_{1}+7x_{2}=7(x_{1}+x_{2})=7\cdot \dfrac{15}{4}=\dfrac{105}{4}$

$7x_{1}\cdot 7x_{2}=49\cdot x_{1}x_{2}=49\cdot \dfrac{1}{2}=\dfrac{49}{2}$

Искомое уравнение:

$x^{2}-\dfrac{105}{4}x+\dfrac{49}{2}=0$           | · 4

4x² - 105x + 98 = 0

_______________

10.

x² - 7x + q = 0

По теореме, обратной теореме Виета:

$x_{1}+x_{2}=7$

По условию:

$5x_{1}-3x_{2}=11$

Получаем систему уравнений:

$\left\{ \begin{array}{ll}x_{1}+x_{2}=7\ \ \ \ \ |\cdot 3\\5x_{1}-3x_{2}=11\end{array}$

$\left\{ \begin{array}{ll}3x_{1}+3x_{2}=21\\5x_{1}-3x_{2}=11\end{array}$

Складываем уравнения:

$\left\{ \begin{array}{ll}8x_{1}=32\\x_{1}+x_{2}=7\end{array}$

$\left\{ \begin{array}{ll}x_{1}=4\\x_{2}=3\end{array}$

q = х₁ ·  х₂ = 4 · 3 = 12

Ответ: 12