Question

Вычислить производную, №5

Answer 1

Ответ:

при p > 0

Объяснение:

Если функция дифференцируема в нуле, то она и непрерывна.

$\displaystyle \lim_{x\to-0}|x|^p\sin x+x^2\cos(|x|^{-p})=\lim -|x|^{p+1}\frac{\sin x}x+x^2\cos(|x|^{-p})=\\=\begin{cases}0, & p > -1\\-1, & p = -1\\-\infty, & p < -1\end{cases}$

$\displaystyle \lim_{x\to+0}|x|^p\sin x+x^2\cos(|x|^{-p})=\lim |x|^{p+1}\frac{\sin x}x+x^2\cos(|x|^{-p})=\\=\begin{cases}0, & p > -1\\1, & p = -1\\+\infty, & p < -1\end{cases}$

Функция разрывна при $p\leqslant -1$ и потому при таких p не имеет производной.

Положим p > -1. По определению, производная в точке 0 будет существовать, если существует и конечен предел

$\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{|x|^p\sin x+x^2\cos(|x|^{-p})-0}{x-0}=\lim |x|^p\frac{\sin x}{x}+x\cos(|x|^{-p})=\\=\begin{cases}+\infty\cdot1+0, & p<0\\0\cdot 1+0, & p>0\end{cases}$

При -1 < p < 0 предел не является конечным, производной не существует. При p > 0 производная существует (и равна нулю)