Question

Про натуральные числа a и b известно что а(в степени b) имеет пять натуральных делителей, а b(в степени а) имеет семь натуральных делителей. Сколько делителей у произведения a*b (a умножить на b)

Answer 1

Ответ:

a = 3, b = 4; ab имеет 6 делителей (1; 2; 3; 4; 6; 12)

Пошаговое объяснение:

pⁿ - имеет n + 1 делителей, если p - простое, если число состоит из нескольких простых множителей, каждый в какой-то степени, то необходимо к каждому показателю прибавить 1 и полученные суммы перемножить. Значит aᵇ и bᵃ - степени простых чисел, а значит и сами a и b могут быть, либо простыми, либо степенями простых.

1) aᵇ имеет 5 делителей, а значит представима в виде 4-й степени натурального числа (1), то есть b = 2 или b = 4

bᵃ имеет 7 делителей, а значит представима в виде 6-й степени натурального числа (2), то есть a = 2  или a = 3

Получается всего 4 варианта, проверяем каждый:

a = 2; b = 2 - не подходит ни к (1), ни к (2)

a = 2; b = 4 - подходит к (1), но не к (2)

a = 3; b = 2 - не подходит ни к (1), ни к (2)

a = 3; b = 4 - подходит и к (1), и к (2), действительно

3⁴ - имеет 5 делителей, а 4³ = 2⁶ - имеет 7 делителей

Answer 2

Ответ:

a=3, b=4, количество всех делителей числа 3·4=12 всего 6: 1; 2; 3; 4; 6; 12

Пошаговое объяснение:

Пусть дана натуральное число d. Каноническое разложение числа d имеет вид:

$\tt \displaystyle d=p_{1}^{\alpha_{1}} \cdot p_{2}^{\alpha_{2}} \cdot p_{3}^{\alpha_{3}} \cdot ... \cdot p_{x}^{\alpha_{x}},$

где p₁, p₂, p₃, ... , pₓ - простые числа, α₁, α₂, α₃, ... , αₓ - неотрицательные числа. Тогда количество всех делителей числа d определяется по формуле:

τ(d)=(α₁+1)·(α₂+1)·(α₃+1)· ... ·(αₓ+1).

По условию число d₁=aᵇ имеет всего 5 различных делителей, а число d₂=bᵃ имеет всего 7 различных делителей, то есть:

τ(d₁)=τ(aᵇ)=5 и τ(d₂)=τ(bᵃ)=7.

Но 5 и 7 простые числа и поэтому не могут быть представленными как произведение нескольких множителей, значение которых больше 1. Поэтому:

1) τ(aᵇ)=5=α+1 и отсюда α = 4. Имеем aᵇ = pₐ⁴ ⇒ b=4 и a - простое число.

2) τ(bᵃ)=7=α₁+1 и отсюда α₁ = 6. Тогда

$\tt \displaystyle b^{a} = 4^{a} =2^{2 \cdot a} = p_{b}^6 \Rightarrow 2 \cdot a = 6 \Rightarrow a=3.$

Отсюда, a·b=3·4=12 и делители 12 всего 6: 1; 2; 3; 4; 6; 12.