Question

Даны координаты вершин треугольника А, В, С. Найти уравнения сторон АВ и АС, угол между ними, уравнения медианы СК и высоты АМ. Сделать чертеж треугольника.
А B C
(-3, 3) (7, 5) (4, 1)

Answer 1

Даны координаты вершин треугольника А (-3, 3), В (7, 5), С (4, 1).

1) Уравнение прямой AB.

Вектор АВ = ((7-(-3)=10;  5-3=2) = (10; 2).

Каноническое уравнение прямой:  (x + 3)/10 = (y - 3)/2.

2х - 10у + 36 = 0, или, сократив на 2:

х - 5у + 18 = 0   это общее уравнение.  

у = (1/5)х + (18/5) это уравнение с угловым коэффициентом.

2) Уравнение прямой AС.

Вектор АС = ((4-(-3)7;  1-3=-2) = (7; -2).

Каноническое уравнение прямой:  (x + 3)/7 = (y - 3)/(-2) .

2х + 7y - 15 = 0 это общее уравнение.  

у = (-2/7)х + (15/7) это уравнение с угловым коэффициентом.

3) Найти угол между векторами АВ = {10;2} и АС = {7; -2}.

Решение: Найдем скалярное произведение векторов:

a·b = 10 · 7 + 2 · (-2) = 70 - 4 = 66.

Найдем модули векторов:

|a| = √(10² + 2²) = √(100 + 4) = √104 ≈ 10,198.

|b| = √(7² + (-2)²) = √(49 + 4) = √53 ≈ 7,28.

Найдем угол между векторами:

cos α = a · b            =         66    =  0,888975.

            |a| · |b|                √104*√53

Угол А равен arc cos0,888975 = 0,4757 радиан  или 27,255 градусов .

4) Находим координаты точки К как середину отрезка АВ.

К((-3+7)/2=2; (3+5)/2=4) = (2; 4). Вектор СК: (-2; 3).

Уравнение медианы СК: (х - 4)/(-2) = (у -1)/3.

3х + 2у - 14 = 0.

у = (-3/2)х + 7.

Угловой коэффициент прямой ВС равен к(ВС) = (1-5)/(4-7) = 4/3.

Тогда угловой коэффициент перпендикуляра к ВС равен:

к(АМ) = -1/(к(ВС) = -1/(4/3) = (-3/4).

Уравнение АМ: у = (-3/4)х + в.

Для определения параметра в подставим координаты точки А:

3 = (-3/4)*(-3) + в. Отсюда в  = 3 - (9/4) = 3/4.

Уравнение высоты АМ: у = (-3/4)х + (3/4).