Question

Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее данным начальным условиям
y"+2y'+5y=-8e^-x*sin2x, y(0)=2,y'(0)=6

Answer 1

Ответ: y=2*e^(-x)*cos(2*x)+3*e^(-x)*sin(2*x)+2*x*e^(-x)*cos(2*x).

Пошаговое объяснение:

1. Сначала найдём общее решение y0 данного уравнения. Составляем характеристическое уравнение: k²+2*k+5=0. Оно имеет решения k1=-1+2*i и k2=-1-2*i, поэтому y0=C1*e^(-x)*cos(2*x)+C2*e^(-x)*sin(2*x).

2. Найдём теперь решение y1 данного уравнения с правой частью.

Правая часть уравнения имеет вид e^(m*x)*[P1(x)*cos(n*x)+P2(x)*sin(n*x)], где m=-1, n=2, P1(x)=0, P2(x)=1. Так как числа m+i*n=-1+2*i и m-i*n=-1-2*i являются корнями характеристического уравнения, то y1=x*e^(m*x)*[R1(x)*cos(n*x)+R2(x)*sin(n*x)], где R1(x) и R2(x) - многочлены, степень которых равна старшей степени многочленов P1(x) и P2(x). Так как эта старшая степень равна нулю, то R1(x)=a, R2(x)=b, где a и b - неизвестные пока числа. Тогда y1=x*e^(-x)*[a*cos(2*x)+b*sin(2*x)]. Дважды дифференцируя y1, подставляя выражения для y1, y1' и y1" в уравнение и приводя подобные члены, получаем уравнение -4*a*e^(-x)*sin(2*x)+4*b*e^(-x)*cos(2*x)=-8*e^(-x)*sin(2*x). Отсюда a=2, b=0 и тогда y1=2*x*e^(-x)*cos(2*x)

3. Общее решение уравнения y=y0+y1=C1*e^(-x)*cos(2*x)+C2*e^(-x)*sin(2*x)+2*x*e^(-x)*cos(2*x). Отсюда y'=-C1*e^(-x)*cos(2*x)-2*C1*e^(-x)*sin(2*x)-C2*e^(-x)*sin(2*x)+2*C2*e^(-x)*cos(2*x)+2*e^(-x)*cos(2*x)-2*x*e^(-x)*cos(2*x)-4*x*e^(-x)*sin(2*x).

4. Используя начальные условия, получаем систему уравнений:

С1=2

-С1+2*С2+2=6

Отсюда C2=3 и и тогда искомое частное решение y=2*e^(-x)*cos(2*x)+3*e^(-x)*sin(2*x)+2*x*e^(-x)*cos(2*x).