Question

100 б + лучший ответ! Задание на фото.

Answer 1

Формула нахождение длины дуги кривой на отрезке [a;b]

$L=\int\limits^b_a {\sqrt{1+(y')^2}} \, dx$

Для данной задачи:

$a=\frac{1}{4} =0,25\\b=\frac{1}{2}=0,5\\y=\ln(1-x^2)+4\\y'=\frac{1}{1-x^2} *(1-x^2)'=\frac{2x}{x^2-1}$

$L=\int\limits^{0,5}_{0,25} {\sqrt{1+(\frac{2x}{x^2-1})^2}} \, dx=\int\limits^{0,5}_{0,25} {\sqrt{\frac{(x^2-1)^2+4x^2}{(x^2-1)^2} }} \, dx=\int\limits^{0,5}_{0,25} {\sqrt{\frac{x^4+2x^2+1}{(x^2-1)^2}}} \, dx=\\=\int\limits^{0,5}_{0,25} {\frac{x^2+1}{x^2-1}} \, dx=\int\limits^{0,5}_{0,25} {\frac{(x^2-1)+2}{x^2-1}} \, dx=\int\limits^{0,5}_{0,25} (1+\frac{2}{x^2-1} )\, dx=$

$=(x+\ln|\frac{x-1}{x+1} |) \int\limits^{0,5}_{0,25}=0,5+\ln|\frac{-0,5}{1,5}|- (0,25+ln|\frac{-0,75}{1,25}|)=\\=0,5-\ln(3)-0,25-\ln\frac{3}{5}=0,25-\ln(\frac{9}{5})$

Поскольку длина не может быть отрицательной:

$|L|=|0,25-\ln(\frac{9}{5})|=\ln(\frac{9}{5})-0,25$

Ответ: $\ln(\frac{9}{5})-0,25$

Answer 2

Ответ: во вложении Объяснение: