Question

Найти область сходимости ряда

Answer 1

Ответ: $(-\infty ; +\infty )$

Зафиксируем x.

$\lim_{n \to \infty} \left |\dfrac{\frac{(n+1)^5(x+5)^{2n+3}}{(n+2)!}}{\frac{n^5(x+5)^{2n+1}}{(n+1)!}} \right | =  \lim_{n \to \infty} \left |\dfrac{(\frac{n+1}{n})^5(x+5)^2}{n+2} \right |=(x+5)^2\lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{n+2} =(x+5)^2*0=0 \:\forall x\in R$

А значит ряд сходится по признаку Д'Аламбера для любого фиксированного x. А значит область сходимости $(-\infty ; +\infty )$