Question

(a - 3) * x^2 + (6 - 2a)x + 1 = 0

Answer 1

Ответ:

Рассмотрим параметрическое уравнение

(a-3)·x²+(6-2·a)x+1=0 ⇔ (a-3)·x²-(a-3)·2·x+1=0

Пусть a-3=0 или a=3. Тогда 0·x²-0·2·x+1=0 и отсюда 1=0, что невозможно, то есть x∈∅.

Пусть a-3≠0. вычислим дискриминант квадратного уравнения

(a-3)·x²-(a-3)·2·x+1=0:

D=(-2·(a-3))²-4·(a-3)·1=4·(a-3)²-4·(a-3)=4·(a-3)·(a-3-1)=4·(a-3)·(a-4).

Исследуем дискриминант:

1) D=0 ⇔ 4·(a-3)·(a-4)=0 ⇒ a-4=0, так как a-3≠0. Тогда квадратное уравнение имеет единственное решение:

$x=\frac{-(-2(a-3))}{2(a-3)}= 1$

2) D<0 ⇔ 4·(a-3)·(a-4)<0 ⇒(a-3)·(a-4)<0

Знак (a-3)·(a-4)            +                       -                               +

                 -∞ -----------[0]----------(3)--[3,5]----[4]-------------[100]----------------> +∞

Значит, для a∈(3; 4) дискриминант D<0 и поэтому уравнение не имеет решений x∈∅.

3) По рассмотренной схеме в 2) при a∈(-∞; 3)∪(4; +∞) D>0 и поэтому квадратное уравнение имеет два корня:

$x_{1}=\frac{-(-2(a-3))-\sqrt{4(a-3)(a-4)}}{2(a-3)}=1-\frac{\sqrt{(a-3)(a-4)} }{a-3} \\x_{2}=\frac{-(-2(a-3))+\sqrt{4(a-3)(a-4)}}{2(a-3)}=1+\frac{\sqrt{(a-3)(a-4)} }{a-3}$