Question

Помогите пожалуйста с пределами...

1) выполнить полное исследование функции y=x^3-27/x^2 , и построить график

2) Исследовать функцию на непрерывность, определить тип точек разрыва $y=\left \{ {{1/x+1 ; x\ \textless \ -1} \atop {x ; -1\leq x\leq 1}} \atop {1-x^2 ; x\ \textgreater \ 1 }}$

Answer 1

Ответ:

1) $y = x^3 - \frac{27}{x^2}\\\\x \neq 0\\\lim_{x \to 0} (x^3 - \frac{27}{x^2}) = -\infty\\\\y' = 3x^2 - 27 * (-2) * \frac{1}{x^3} = 3x^2 + \frac{54}{x^3}\\y' = 0\\3x^2 + \frac{54}{x^3} = 0\\3 + \frac{54}{x^5} = 0\\-3x^5 = 54\\x = (\frac{-54}{3})^{\frac{1}{5}} = -1.78\\\\x \in (-\infty; -1.78)\\y'(x) > 0\\x \in (-1.78; 0)\\y'(x) < 0\\x \in (0; +\infty)\\y'(x) > 0\\\\y(x) = 0\\x^3 - \frac{27}{x^2} = 0\\x^5 - 27 = 0\\x = 27^{1/5}$

По производным понимаем где график возрастает и убывает. Также понимает что у вертикальный асимптоты x = 0 график с обеих сторон стремится к минус бесконечности. Примерно можно построить график.

Можно также уточнить род выпуклостей на частках монотонности: найти вторую производную и посмотреть ее знак на отрезках

2)

$x \to -1\\\lim_{x \to -1-} y(x) = \lim_{x \to -1-} \frac{1}{x} + 1 = 0\\\lim_{x \to -1+} y(x) = \lim_{x \to -1+} x = -1$

Т.к пределы $\in \mathbb{R}$ и не равны точка $x = -1$ является точкой конечного разрыва (первый род)

$x \to 1\\\lim_{x \to 1-} y(x) = \lim_{x \to 1-} x = 1\\\lim_{x \to 1+} y(x) = \lim_{x \to 1+} 1 - x^2 = 0$

Аналогично $x = 1$ точка конечного разрыва (первый род)

$x \to 0\\\lim_{x \to 0-} \frac{1}{x} + 1 = -\infty\\\lim_{x \to 0+} \frac{1}{x} + 1 = \infty$

Т.к. хотя обы один предел $\notin \mathbb{R}$ точка $x = 0$ точка рызрыва второго рода