Question

Решите пж с инструкцией для блондинки.$\lim_{n \to \infty} (\frac{1+2+3+...+n}{n+2}-\frac{n}{2})$

Answer 1

Сумма $1+2+3+...+n$ является суммой n первых членов арифметической прогрессии:

$S_n=\dfrac{a_1+a_n}{2}\cdot n=\dfrac{1+n}{2}\cdot n=\dfrac{n^2+n}{2}$

Подсчитаем теперь предел.

$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\Bigg(\dfrac{1+2+3+...+n}{n+2}-\dfrac{n}{2}\Bigg)=\lim_{n \to \infty}\Bigg(\dfrac{\dfrac{n^2+n}{2}}{n+2}-\dfrac{n}{2}\Bigg)=\\ \\ \\ =\lim_{n \to \infty}\Bigg(\dfrac{n^2+n}{2(n+2)}-\dfrac{n(n+2)}{2(n+2)}\Bigg)=\lim_{n \to \infty}\dfrac{n^2+n-n^2-2n}{2(n+2)}=\\ \\ \\ =\lim_{n \to \infty}\dfrac{-n}{2n+4}=\lim_{n \to \infty}\dfrac{-1}{2+\dfrac{4}{n}}=\dfrac{-1}{2+0}=-\dfrac{1}{2}$