Question

значение суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии на 16 больше её первого члена, а значение суммы первых двух членов равно 24. Найдите восьмой член этой прогрессии. Срочнооо, решите пожалуйста​

Answer 1

Пусть S — сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии, которая определяется соотношением $S=\dfrac{b_1}{1-q}$, где $|q|<1$.

По условию, $S=16+b_1$ и $b_1+b_2=24$. Используя формулу n-го члена геометрической прогрессии $b_n=b_1q^{n-1}$, упростим второе выражение :

$b_1+b_1q=24\\ \\ b_1(1+q)=24\\ \\ q=\dfrac{24}{b_1}-1$

И подставляем в первое условие

$\dfrac{b_1}{1-q}=16+b_1~~\Leftrightarrow~~ \dfrac{b_1}{1-\left(\dfrac{24}{b_1}-1\right)}=16+b_1~~\Leftrightarrow~~ b_1^2+8b_1-384=0$

По теореме Виета :

$b_1=-24$ или $b_1=16$. Но если $b_1=-24$, то $q=\dfrac{24}{-24}-1=-2$ что не подходит, так как не удовлетворяет условию $|q|<1$. Если $b_1=16$, то $q=\dfrac{24}{16}-1=0.5$ — подходит.

Восьмой член этой прогрессии: $b_8=b_1q^7=16\cdot 0.5^7=0.125$