Ответы
1.1) Уравнение плоскости, проходящей через данную точку, параллельно двум другим векторам имеет вид в координатной форме:
| (x - x1) (y - y1) (z - z1)|
|xa ya za|
|xb yb zb| = 0.
Подставим данные:
| (x - 2) (y - 0) (z - 3)|
|1 0 1|
|2 1 3| = 0.
Получаем -x - y + z - 1 = 0.
1.2) Векторное произведение вектора KL и заданного вектора s будет нормальным вектором искомой плоскости.
Вектор KL(1; -3; 0).
KL x s =
i j k | i j
1 -3 0 | 1 -3
1 2 2 | 1 2 = -6i + 0j + 2k - 2j -0i + 3k =
= -6i -2j + 5k. Вектор (-6; -2; 5).
Теперь можно перейти к уравнению плоскости, используя координаты точки К.
-6(x- 1) - 2(y - 2) + 5(z - 3) = -6x - 2y + 5z - 5 = 0.
1.3) Уравнение плоскости через 3 точки в координатной форме:
| (x - x1) (y - y1) (z - z1)|
| (x2 - x1) (y2 - y1) (z2 - z1)|
| (x3 - x1) (y3 - y1) (z3 - z1)| = 0.
Подставим данные:
| (x - 3) (y - 1) (z - 0)|
| (0 - 3) (1 - 1) (2 - 0)|
| -1 - 3) (0 - 1) (5 - 0)| = 0.
Получаем 2x + 7y + 3z - 13 = 0.
1.4) Заданный вектор и есть нормальный вектор искомой площади (ведь он перпендикулярен ей).
1*(x - 2) + 2*(y - 3) - 4*(z + 1) = x + 2y - 4z - 12 = 0.
2) По аналогии с пунктом 1.3 находим уравнение плоскости АВС.
x - 1 y - 2 z + 1
1 -3 4
-5 5 6 = -38x - 26y - 10z + 80 = 0.
Нормальный вектор этой плоскости равен (-38; -26; -10).
Координаты точки М(1,5; 0,5; 1) - это точка пересечения медианы СМ и стороны АВ. Её координаты равны полусумме координат точек А и В.
Привяжем нормальный вектор плоскости АВС к точке М и получим уравнение прямой, лежащей в перпендикулярной плоскости к АВС.
(x - 1.5)/(-38) = (y - 0.5)/(-26) = (z - 1)/(-8).
Теперь можно найти уравнение плоскости, проходящей через медиану СМ перпендикулярно к плоскости АВС.
Уравнение прямой L проходит через точку M1(x1, y1, z1)=M1(15/10, 05/10, 1) и имеет направляющий вектор q={m, p, l}={−38, −26, −10}.
Уравнение плоскости α, проходящей через точку M0(x0, y0, z0)=M0(−4, 7, 5) и имеющий нормальный вектор n={A, B, C} представляется формулой:
A(x−x0)+B(y−y0)+C(z−z0)=0 (2)
Поскольку плоскость проходит через прямую L, то она проходит также через точку M1(x1, y1, z1). Тогда уравнение плоскости, проходящей через точку M1(x1, y1, z1) имеет вид:
A(x−x1)+B(y−y1)+C(z−z1)=0 (3)
Для того, чтобы плоскость проходила через прямую L, нормальный вектор плоскости должен быть ортогональным направляющему вектору прямой L :
A·m+B·p+C·l=0
(4)
Вычитая уравнение (3) из уравнения (2), получим:
A(x1−x0)+B(y1−y0)+C(z1−z0)=0. (5)
Подставим значения m, p, l, x0, y0, z0, x1, y1, z1 в (4) и (5):
A·(−38) +B· (−26)+C·(−10)=0 (6)
A·( (15/10) − (−4)) + B·(( 05/10 ) − 7) + C·( 1 - 5) = 0 (7)
Упростим уравнение (7):
A· 5(1/ 2) +B· −6(1 /2) +C· (−4) =0 (7')
Решим систему линейных уравнений (6) и (7') отностительно A, B, C. Представим эти уравнения в матричном виде:
−38 −26 −10 А
5(1/2) −6(1/2) -4 В
С = 0 (8)
Решив однородную систему линейных уравнений (8), найдем следующее частное решение:
A = 1/10
B = 69/130
C = 1. (9)
Подставляя значения коэффициентов A, B, C в уравнение плоскости (2), получим:
( 1 /10 ) · (x - (-4)) - (69/130)· (y - 7) + 1· (z - 5) = 0. (10)
Упростим уравнение (10):
( 1 /10)x − (69 /130)y + z - (23/26) = 0 (11)
Уравнение плоскости можно представить более упрощенном виде, умножив на число 130.
13 x − 69 y + 130 z − 115 = 0.