Question

Исследовать функцию и построить схематично ее график: y=x^2(x-1)^2

Answer 1

Пошаговое объяснение:

ДАНО: y(x) = x²*(x-1)²

Преобразуем формулу к полному виду.

y(x) = x²*(x²-2*x+1) = x⁴ - 2*x³ + x² - функция.

1. Область определения. Непрерывная. Разрывов нет.  

D(x) = (-∞;+∞)

2. Нули функции: х₁ = 0 и х₃ = 1 - пересечение с осью ОХ.

3. Пересечение с осью ОУ : y(0) = 1.

4. Интервалы знакопостоянства.

Положительна: Y>0  X∈(-∞;0)∪(0;1)∪(1;+∞)

Отрицательна: Y<0 - нет.

4. Поиск экстремумов по первой производная функции .

Y'(x) = 4*х³ - 6*х² + 2*х = 2*х*(2*x² - 3*x + 1) = 0

Точки экстремумов: x₅ = 0, x₆ = 0.5 , x₇ = 1

5 Локальные экстремумы:

Ymin(0) = Y(1) = 0

Ymax(0.5) = 0.0625  

6. Интервалы монотонности.

Убывает: Х∈(-∞;0)∪(0.5;1)  Возрастает: Х∈(0;0.5)∪(1;+∞)

7, Поиск точек перегиба по второй производной

Y"(x) = 12*x² - 12*x + 2 =  0

x₈ = 0.21 и х₉ = 0.79  - точки перегиба.

8. Вогнутая - "ложка" - Х∈(-∞;0.21)∪(0.79;+∞)

Выпуклая - "горка" - Х∈(0.21;0.79)

График на рисунке  в приложении.   Графики производных - излишние.

А вот на дополнительном рисунке с графиком такой же функции представлено описание поведения графика.