Question

В прямоугольном треугольнике длины сторон являются целыми числами. Какой максимально возможный периметр может иметь этот треугольник, если одна из его сторон равна 12?

Answer 1

Ответ:

84

Пошаговое объяснение:

Треугольник является прямоугольным, значит, у него два катета a и b, гипотенуза c. По условию одна из сторон 12 (единицу можно выбрать произвольное). Эта сторона будет катетом, в противном случае, если эта сторона гипотенуза c, то из-за ограничения для катетов a<c и b<c максимально возможный периметр также ограничивается. Поэтому наименьший катет, пусть этот катет будет a, выберем как a=12.

Так как треугольник прямоугольный, то верна теорема Пифагора

c² = a² + b² или c² -  b²= 12² или (c - b)·(c + b)= 144.

С другой стороны, из условия существования треугольника (другое название - неравенство треугольника) получаем

a + c > b

b + c > a

a + b > c

Из последнего неравенства вытекает, что 12 > c - b.

Теперь рассмотрим (c - b)·(c + b)= 144. Из того, что длины сторон треугольника являются целыми числами (вообще то натуральными числами), то (c - b) и (c + b) также являются натуральными числами.

Обозначим c - b = х. Отсюда c = x + b. Тогда

$c + b = \frac{144}{x}$

$x + b + b = \frac{144}{x}$

$2b=\frac{144}{x}-x$

$b=\frac{72}{x} -\frac{x}{2}$

Отсюда следует, что х - чётное и является делителем 72.

Учитывая 12 > c - b и то, что чем меньше c - b, тем больше периметр, рассмотрим разложение числа 144 на чётные множители: 144=2·72.

Тогда c - b = 2 и c + b = 72. Отсюда c = 37 и b = 35. Ясно, что неравенство треугольника выполняется, оба числа целые.

Проверим утверждение теоремы Пифагора:

12²+35²=144+1225=1369=37².

Значит, все условия выполняются. Тогда максимально возможный периметр равен сумме длин сторон треугольника

P = a + b + c = 12  + 35 + 37 = 84