Question

Помогите решить 5,6,7,9,10

Answer 1

Номер 5.

${2}^{x-1} \cdot {5}^{x+3} = {2}^{x} \cdot {2}^{-1} \cdot {5}^{x} \cdot {5}^{3} = \frac{{5}^{3}}{2} \cdot {(2 \cdot 5)}^{x} = \frac{125}{2} \cdot {10}^{x}$

Подставляем:

$\frac{125}{2} \cdot 16 = 125 \cdot 8 = 1000$

Номер 6.

${a}^{2} = {2}^{8x+2} \\a = \sqrt{ {2}^{8x+2} } \\a = { \left ( {2}^{8x+2} \right )}^{ \frac{1}{2} } \\a = {2}^{4x+2}$

Подставляем:

$\frac{ {2}^{4x+2} }{4} = {32}^{x-2} \\\frac{ {2}^{4x+2} }{ {2}^{2} } = { \left ( {2}^{5} \right ) }^{x-2} \\{2}^{4x} = {2}^{5(x-2)} \\4x = 5(x-2) \\4x = 5x - 10 \\-x = -10 \\x = 10$

Номер 7.

$16^{ \frac{x}{2} } = 256 \\{16}^{ \frac{x}{2} } = {16}^{2} \\\frac{x}{2} = 2 \\x = 4$

Номер 9.

${ \left ( \frac{1}{5} \right ) }^{x+3} \leq 25 \\{ \left ( {5}^{-1} \right ) }^{x+3} \leq {5}^{2} \\{5}^{-x-3} \leq {5}^{2} \\-x-3 \leq 2 \\-x \leq 5 \\x \geq -5$

Или же в виде предела (мне лично так больше нравится c:):

$x \in [{-5;+ \infty })$

Номер 10.

${ \left ( \frac{1}{4} \right ) }^{10x} > {64}^{ 2\frac{2}{3} - {x}^{2} } \\{ \left ( { \left ( 2^{2} \right ) }^{-1} \right ) }^{10x} > { \left ( {2}^{6} \right ) }^{ 2\frac{2}{3} - {x}^{2} } \\{2}^{-20x} > {2}^{ 6(2\frac{2}{3} - {x}^{2}) } \\-20x > 16 - 6 {x}^{2} \\6 {x}^{2} - 20x - 16 > 0 \\3 {x}^{2} - 12x + 2x - 8 > 0 \\3x (x - 4) + 2 (x - 4) > 0 \\(3x + 2)(x - 4) > 0$

$\begin{bmatrix}\begin{Bmatrix}3x+2>0 \\x-4>0\end{matrix} \\\begin{Bmatrix}3x+2<0 \\x-4<0\end{matrix}\end{matrix} \\\begin{bmatrix}\begin{Bmatrix}x>-\frac{2}{3} \\x>4\end{matrix} \\\begin{Bmatrix}x<-\frac{2}{3} \\x<4\end{matrix}\end{matrix} \\\begin{bmatrix}x \in ({4;+\infty}) \\x \in ({-\infty;-\frac{2}{3}})\end{matrix} \\x \in ({-\infty; -\frac{2}{3}}) \cup ({4;+\infty})$