Ответы
Дана функция f (x) = 6x^4 – 12x² - 11 .
1. Область определения функции - вся числовая ось: D(f) = R.
2. Функция f (x) = 6x^4 – 12x^2 - 11 непрерывна на всей области определения.
Область значений функции приведена в пункте 6.
3. Точка пересечения графика функции с осью координат Оу:
График пересекает ось Оу, когда x равняется 0: подставляем x=0 в 6x^4 – 12x^2 - 11.
у =6* 0^4 – 12*0^2 - 11 = -11.
Результат: кривая пересекает ось Оу в точке (0; -11).
4. Точки пересечения графика функции с осью координат Ох:
График функции пересекает ось Ох при y=0, значит, нам надо решить уравнение:
6x^4 – 12x^2 - 11 = 0.
Решаем это уравнение и его корни будут точками пересечения с Ох.
Делаем замену x^2 = t.
Получили: 6t^2 – 12t - 11 = 0.
D = 144 – 4*6*(-11) = 408
Имеем 2 корня: t1 = (12 + √408)/(2*6) = (6 + √102)/6 ≈ 2,68325
t2 = (12 - √408)/(2*6) = (6 - √102)/6 ≈ -0,68325. Этот отрицательный корень отбрасываем.
Обратная замена: х = √t.
x1,2 = +-(√(6 + √102)/6)) ≈ +-1,63806.
5. Экстремумы функции:
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение y'=0 (производная равна нулю), и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
y' = (6x^4 – 12x^2 - 11)’ = 24x^3 - 24x = 24x(x^2 - 1) = 0.
Решаем это уравнение и его корни будут экстремумами:
Из первого множителя имеем 1 корень: x = 0.
Приравняем нулю второй множитель:
x2 - 1 = 0, x2 = 1. Имеем 2 корня: х = 1 и x = -1.
Имеем 3 точки, в которых возможны экстремумы: x = 0, х = 1 и x = -1.
6. Интервалы возрастания и убывания функции.
Имеем 4 интервала монотонности функции: (-∞; -1), (-1; 0), (0; 1) и (1; +∞).
На промежутках находим знаки производной. Где производная положительна - функция возрастает, где отрицательна - там убывает. Точки, в которых происходит смена знака и есть точки экстремума - где производная с плюса меняется на минус - точка максимума, а где с минуса на плюс - точки минимума.
x = -2 -1 -0,5 0 0,5 1 2
y' = -144 0 9 0 -9 0 144
Минимумы функции в точках ( -1; -17) и ( 1; -17).
В точке х = 0, у = -11 максимум.
Возрастает на промежутках: (-1; 0) и (1; +∞).
Убывает на промежутках: (-∞; -1) и (0; 1).
Отсюда определилась область значений функции:
- так как минимумы функции в точках х = +-1 равны у = -17,
то E(f) = [-17; +∞).
7. Точки перегибов графика функции:
Найдем точки перегибов для функции, для этого надо решить уравнение y''=0 - вторая производная равняется нулю, корни полученного уравнения будут точками перегибов указанного графика функции:
y''(6x^4 – 12x^2 - 11) = 72x^2 - 24 = 24(3x^2-1) = 0.
Множитель в скобках имеет 2 решения:
3x^2-1= 0, x = +-√(1/3).
х1 = √(1/3), х2 = -√(1/3).
Результат – точки перегиба: ((-√(1/3)); -14,3333) и ((√(1/3))); -14,3333).
Интервалы выпуклости, вогнутости:
Имеем 3 интервала выпуклости, вогнутости:
x ϵ (-∞; (-√(1/3))), ((-√(1/3)); (√(1/3)) и (√(1/3); +∞).
Находим знаки второй производной на полученных промежутках.
x = -1 -√(1/3) 0 √(1/3) 1
y'' = 48 0 -24 0 48
Где вторая производная меньше нуля, там график функции выпуклый, а где больше - вогнутый:
Выпуклая на промежутке: ((-√(1/3)); √(1/3)).
Вогнутая на промежутках: (-∞;(-√(1/3))) U (√(1/3); +∞).
8. Асимптоты.
Вертикальная асимптота: так как область определения функции - вся числовая ось, то нет вертикальной асимптоты.
Горизонтальные асимптоты графика функции:
Горизонтальную асимптоту найдем с помощью предела данной функции при x->+∞ и x->-∞. Соотвествующие пределы находим:
lim 6x4 – 12x2 - 11, x->+∞ = ∞, значит, горизонтальной асимптоты справа не существует
lim 6x4 – 12x2 - 11, x->-∞ = ∞, значит, горизонтальной асимптоты слева не существует
Наклонные асимптоты графика функции:
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел данной функции, деленной на x при .
Находим коэффициент k:
k=lim┬(n→∞)〖(〖6x〗^4-〖12x〗^2-11)/x=∞.〗
Поскольку коэффициент k равен бесконечности, наклонных асимптот не существует.
8. Четность и нечетность функции:
Проверим функцию - четна или нечетна с помощью соотношений:
f(-x) = f(x) и -f(x) = f(x). Итак, проверяем:
f(-x)=〖6*(-x)〗^4-〖12(-x)〗^2-11=〖6x〗^4-〖12x〗^2-11=f(x).
3начит, функция является чётной.
Таблица точек:
x y
-2.0 37
-1.8 13.1
-1.6 -2.4
-1.4 -11.5
-1.2 -15.8
-1.0 -17
-0.8 -16.2
-0.6 -14.5
-0.4 -12.8
-0.2 -11.5
0 -11
0.2 -11.5
0.4 -12.8
0.6 -14.5
0.8 -16.2
1.0 -17
1.2 -15.8
1.4 -11.5
1.6 -2.4
1.8 13.1
2.0 37 .
