Question

Составить каноническое уравнение общего перпендикуляра к двум данным скрещивающимся прямым взяв в качестве опорной точку пересечения этого перпендикуляра с одной из данных прямых. Определить координаты обеих точек пересечения.

Answer 1

Даны уравнения прямых:

(x - 5)/2 =(y - 1)/1 = (z - 6)/1  и   (x - 4)/3 = (y - 2)/1 = (z - 3)/1 .  

1) Перепишем уравнения первой прямой в параметрической форме:

x = 2t + 5,

y = 1t + 1,

z = 1t + 6.  

Примем точку Н1 как точку пересечения первой заданной прямой и общего перпендикуляра.

Её координатам  соответствует вполне конкретное значение параметра, обозначим его через to . Тогда координаты точки запишутся в виде:

x = 2to + 5,

y = 1to + 1,

z = 1to + 6.

Аналогично для точки Н2 получим

x = 3so + 4,

y = 1so + 2,

z = 1so + 3.

2) Находим вектор Н1Н2 по двум  критериям.

Н1Н2 = p  как результат векторного произведения направляющих векторов заданных прямых (ведь он перпендикулярен обеим прямым).

i        j       k |       i        j

2     1       1 |       2       1

3     1       1 |       3       1  =    1i + 3j + 2k -2j - 1i - 3k = 0i + 1j - 1k.

p = (0; 1; -1).

С другой стороны, вектор Н1Н2 проходит через 2 точки, координаты которых заданы в пункте 1.

Н1Н2: (3so + 4 - 2to - 5; 1so + 2 - 1to - 1; 1so + 3 - 1to - 6).

Поскольку направляющие векторы  коллинеарны, то один вектор линейно выражается через другой с некоторым коэффициентом пропорциональности «лямбда»:

(3so - 2to - 1; 1so - 1to + 1; 1so - 1to - 3) = λ(0; 1; -1).

Или покоординатно:

3so - 2to - 1 = λ*0;

1so - 1to + 1 = λ*1;

1so - 1to - 3 = λ*(-1)

Получилась самая, что ни на есть обычная система линейных уравнений с тремя неизвестными , которая стандартно разрешима, например, методом Крамера.

В данном случае можно применить метод сложения.

Вычтем из второго  уравнения третье: 2λ = 4, откуда λ = 4/2 = 2.

3so - 2to - 1 = λ*0;   3so - 2to  = 1;

1so - 1to + 1 = λ*1;     2so - 2to  = 2,

вычтем из первого уравнения второе: so = -1, тогда to = 1 - 3so = -2.

Отсюда находим координаты точек:

Н1: x = 2*(-2) + 5 = 1,

     y = 1*(-2) + 1 = -1,

     z = 1*(-2)+ 6 = 4    Точка Н1(1; -1; 4).

Н2: x = 3*(-1)+ 4 = 1,

      y = 1*(-1) + 2 = 1,

      z = 1*(-1)+ 3 = 2.   Точка Н2(1; 1; 2).

  Вектор Н1Н2 = (0; 2; -2) и его длина √(0²+ 2² + (-2)²) = √8 = 2√2.