Question

Фигура F задаётся на координатной плоскости неравенством $2\pi -arcsin(y-x)-arccos(x+y)\geq 0$. Чему равна площадь фигуры F?

Answer 1

Ответ: 2

$arcsin \alpha \in [-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}],arccos\alpha \in [0;\pi] \:\:\forall \alpha \in R=>arcsin(y-x)+arccos(x+y)\leq \dfrac{3\pi}{2}=>2\pi-arcsin(y-x)-arccos(x+y)\geq 2\pi-\dfrac{3\pi}{2}>0$

То есть неравенство верно для всех действительных значениях переменных, удовлетворяющих области определения. Найдем ее:

$\left \{ {{-1\leq y-x\leq 1 } \atop {-1\leq x+y\leq 1}} \right.=>\left \{ {{x-1\leq y\leq x+1 } \atop {-1-x\leq y\leq 1-x}} \right.$

Построив 2 области и найдя их пересечение, получим область, расположенную на прикрепленном изображении на пересечении черной и красной областей (1ое и 2ое соот-но неравенства системы).

Как видим получился квадрат (1. все углы равны 90, т.к. границы задают две пары параллельных прямых, причем коэффициенты при x в парах уравнений этих прямых равны 1 и -1; 2. Все стороны равны в силу симметрии фигуры относительно осей координат) со стороной $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2$

Тогда площадь равна $(\sqrt2)^2=2$