Question

На сторонах ВС и CD квадрата ABCD взяли точки K и M так, что угол MAK равен 45Градусов. Известно, что KM=13 ,KC = 5 ,CM=12 . Найдите сторону квадрата ABCD

Answer 1

Определим центр вневписанной окружности ΔCMK, которая касается MK. Центр вневписанной окружности в треугольник лежит на пересечении биссектрисы внутреннего угла, противолежащего стороне касания, и биссектрис двух внешних углов, прилежащих к стороне касания.

Пусть центр это т. О, тогда KO - биссектриса ∠BKM; BO - биссектриса ∠DMK; OC - биссектриса ∠BCM.

• Сумма внутренних углов треугольника равна 180°.

В ΔMKO:

∠MOK = 180°-(∠OMK+∠OKM)

• Биссектриса делит угол пополам.

∠MOK = 180°-(∠DMK:2 + ∠BKM:2);

∠MOK = 180°-(∠DMK+∠BKM):2.

• Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних, не смежных с ним.

Для ΔCMK:

∠BKM = ∠KMC+∠KCM;

∠DMK = ∠MKC+∠MCK.

Тогда получим:

∠MOK = 180°-(∠MKC+∠MCK + ∠KMC+∠KCM):2;

∠MOK = 180°-(180°+90°):2;

∠MOK = 180°-270°:2 = 180°-135°;

∠MOK = 45°.

• Диагонали квадрата делят угол пополам.

Для квадрата ABCD:

CA - биссектриса ∠BCD.

Заметим, что ∠MAK = 45° = ∠MOK и CA совпадает с CO, тогда т. А совпадает с т. О.

По определению вневписанная окружность касается продолжений CM и CK. Тогда радиус равен расстоянию от A до CM, то есть стороне квадрата. Значит окружность содержит точки D и B. CD и CB - касательные к вневписанной окружности.

Пусть P точка касания со стороной MK.

• Отрезки касательных проведённых из одной точки к одной окружности равны.

Поэтому MD=MP и KP=KB.

PΔCMK = CM+MK+CK;

CM+MP+PK+CK = 12+13+5;

CM+BD+CK+KM = 30;

2·CD = 30;

CD = 30:2 = 15.

Ответ: 15.

Answer 2

Условие: На сторонах ВС и CD квадрата ABCD взяли точки K и M так, что ∠MAK = 45°. Известно, что KM = 13 ,KC = 5 ,CM = 12. Найдите сторону квадрата ABCD.

Дано: K ∈ BC, M ∈ CD, ∠MAK = 45°, KM = 13 ,KC = 5 ,CM = 12.

Найти: BC.

Решение:

Осуществим поворот ΔAMD на 90° против часовой стрелки ⇒ ΔAMD переходит в ΔAM₁B, ΔAMD = ΔAM₁B.

∠BAD = ∠BAK + ∠MAK + ∠MAD = 90°  ⇒  ∠BAK + ∠MAD = 90° - ∠MAK = 90° - 45° = 45°

Из равенства ΔAMD = ΔAM₁B следует, что ∠MAD = ∠BAM₁, значит, ∠BAK + ∠BAM₁ = 45°.

ΔMAK = ΔM₁AK по двум сторонам и углу между ними:

1. AM = AM₁ - так как ΔAMD = ΔAM₁B
2. АК - общая сторона
3. ∠MAK = ∠M₁AK = 45°

Отсюда следует, что ∠АКМ = АКМ₁.

Аналогичным образом, осуществив поворот ΔAВК на 90° по часовой стрелке, можно утверждать, что ∠AMK = ∠AMD.

Заметим, что биссектрисы АК и АМ внешних углов при вершинах К и М ΔКСМ пересекаются в точке А, то есть точка А является центром вневписанной окружности ΔКСМ ⇒ AB = AD = AH - радиусы вневписанной окружности.

• КВ = КН, MD = MH - как отрезки касательных

BC + СD = (BK + CK) + (CM + MD) = (KH + CK) + (CM + MH) = CK + CM + (KH + MH) = CK + CM + MK = 5 + 12 + 13 = 30

BC + СD = 30   ⇒   BC + BC = 30   ⇒   BC = 15

Ответ: 15.