Question

x²-xy-2y²=7
Найти все x и y должны быть целыми ​

Answer 1

В левой части уравнения разложим одночлены в сумму нескольких.

$x^2+xy-2xy-2y^2=7\\ \\ x(x+y)-2y(x+y)=7\\ \\ (x+y)(x-2y)=7$

Число 7 является простым. Представим его в виде произведении чисел 1 и 7 или (-1) и (-7). Получаем четыре системы:

$\displaystyle \left \{ {{x+y=1} \atop {x-2y=7}} \right.~~~~\Rightarrow~~~\left \{ {{x=3} \atop {y=-2}} \right.$

$\displaystyle \left \{ {{x+y=7} \atop {x-2y=1}} \right.~~~~\Rightarrow~~~\left \{ {{x=5} \atop {y=2}} \right.$

$\displaystyle \left \{ {{x+y=-1} \atop {x-2y=-7}} \right.~~~~\Rightarrow~~~\left \{ {{x=-3} \atop {y=2}} \right.$

$\displaystyle \left \{ {{x+y=-7} \atop {x-2y=-1}} \right.~~~~\Rightarrow~~~\left \{ {{x=-5} \atop {y=-2}} \right.$

Ответ: (3;-2), (5;2), (-3;2), (-5;-2).

Answer 2

$(x - y)(x + y) - xy - {y}^{2} = (x - y)(x + y) - y(x + y) = (x + y)(x - 2y)$

В целых числах решаем 4 системы:

1. x+y =7(1)

x-2y=1(2)

(1)-(2): 3y = 6

y = 2

x =5

2. x+y = -7(1)

x -2y = -1(2)

(1)-(2): 3y =-6

y=-2

x=-5

3. x+y = 1(1)

x-2y= 7(2)

(1)-(2): 3y=-6

y=-2

x = 3

4. x+y=-1(1)

x-2y= -7(2)

(1)-(2): 3y=6

y = 2

x =-3

Отметьте, пожалуйста, как лучший ответ, если не сложно❤️