Question

Найдите все значения параметра k, при котором прямые 3x+2ky=1 и 3(k-1)x-ky=1
а) пересекаются в одной точке;
б) совпадают;
в) не имеют общих точек.

Answer 1

Ответ:

При k = 0 - не имеет смысла 2-е уравнение, при k ≠ 1/2 прямые пересекаются в единственной точке, при k = 1/2 - прямые параллельны

Объяснение:

Рассмотрим особо случай k = 0

Получаем, подставляя в уравнение 2-й прямой 3·(0 - 1) - 0·y = 1; -3 = 1 - не верное равенство.

То есть рассматриваем только случай k ≠ 0

Выразим y через x:

1) 2ky = -3x + 1;

$y = -\dfrac{3}{2k}\cdot x +\dfrac{1}{2k}$

2) ky = 3(k - 1)x - 1

$y = \dfrac{3\cdot (k-1)}{k} \cdot x-\dfrac{1}{k}$

а) Чтобы прямые пересекались в одной точке достаточно потребовать, чтобы угловые коэффициенты наших линейных функций не были равны, то есть:

$-\dfrac{3}{2k} \neq \dfrac{3(k-1)}{k}$

Умножаем обе части на 2k:

-3 ≠ 6(k - 1)

k - 1 ≠ -1/2

При k ≠ 1/2 и k ≠ 0 прямые пересекаются в одной точке

Рассмотрим случай k = 1/2

Наши уравнения превращаются в

3x + y = 1 - 1-е уравнение

-3/2 x - 1/2 y = 1;  умножаем обе части на -2

3x + y = -2 - 2-е уравнение, то есть получаем две параллельных прямых, но не совпавших

Таким образом б) - невозможен ни при каких k, а в) - при k = 1/2