Question

Решите пожалуйста

Найдите наибольшее целое значение функции:

$f (x)=5/3*\sqrt{5cos^{2 x-4sin^{2} x+20} }$
Все написала как в задание)

Answer 1

Упростим функцию

$f(x)=\dfrac{5}{3}\sqrt{5\cos^2x-4\sin^2x+20}=\dfrac{5}{3}\sqrt{5\cos^2x-4(1-\cos^2x)+20}=\\ \\ =\dfrac{5}{3}\sqrt{5\cos^2x-4+4\cos^2x+20}=\dfrac{5}{3}\sqrt{9\cos^2x+16}$

Функция $y=\cos x$ изменяется в пределах [-1;1], т.е.

$-1\leq \cos x \leq 1$

Возведя все части неравенств до квадрата, получим

$0\leq \cos^2x\leq 1~~~\bigg|\cdot 9\\ \\ 0\leq 9\cos^2x\leq 9~~~\bigg|+16\\ \\ 16\leq 9\cos^2x+16\leq 25\\ \\ \sqrt{16}\leq \sqrt{9\cos^2x+16}\leq \sqrt{25}\\ \\ 4\leq \sqrt{9\cos^2x+16}\leq 5~~~\bigg|\cdot \dfrac{5}{3}\\ \\ \dfrac{20}{3}\leq \dfrac{5}{3}\sqrt{9\cos^2x+16}\leq \dfrac{25}{3}~~~~\Leftrightarrow~~~ \boxed{\dfrac{20}{3}\leq f(x)\leq \dfrac{25}{3}}$

Множество значений функции: $E(f)=\Bigg[\dfrac{20}{3};\dfrac{25}{3}\Bigg]$. Наибольшее целое значение функции равно 8.

Ответ: 8.