Question

Решите, пожалуйста, уравнение.
sin(πsinx)=1/2

Answer 1

$\sin(\pi \sin x)=\dfrac{1}{2}$

Запишем решение в виде совокупности двух серий:

$\left[\begin{array}{l} \pi \sin x=\dfrac{\pi }{6} +2\pi n, \ n\in\mathbb{Z} \\\\ \pi \sin x=\dfrac{5\pi }{6} +2\pi n, \ n\in\mathbb{Z} \end{array}$

$\left[\begin{array}{l}  \sin x=\dfrac{1 }{6} +2 n, \ n\in\mathbb{Z} \\\\ \sin x=\dfrac{5 }{6} +2 n, \ n\in\mathbb{Z} \end{array}$

Зная, что синус принимает значения от -1 до 1, можно сделать вывод, что в обоих сериях единственно возможное значение n - это значение 0. При положительных n правая часть становится больше 1, а при отрицательных - меньше -1, соответственно в этих случаях корней уравнения иметь не будут.

$\left[\begin{array}{l} \sin x=\dfrac{1 }{6} \\\\ \sin x=\dfrac{5 }{6} \end{array}$

$\left[\begin{array}{l} x_1=(-1)^k\arcsin\dfrac{1 }{6}+\pi k, \ k\in\mathbb{Z} \\\\ x_2=(-1)^k\arcsin\dfrac{5}{6}+\pi k, \ k\in\mathbb{Z} \end{array}$

Ответ: $(-1)^k\arcsin\dfrac{1 }{6}+\pi k$ и $(-1)^k\arcsin\dfrac{5}{6}+\pi k$, где k - целые числа