Question

Найти сумму ряда....​

Answer 1

Пусть ряд сходится при рассматриваемых x. Положим $f(x)=\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{x^{4k-3}}{4k-3}$. Пусть $f(x)$ непрерывна на $X$ и $x\in X$. Тогда существует производная $f'(x)=\sum\limits_{k=1}^{\infty}(\frac{x^{4k-3}}{4k-3})'=\sum\limits_{k=1}^{\infty}x^{4k-4}=\frac{1}{1-x^{4}}$.

$\int\frac{1}{1-x^4}dx=\frac{1}{2}(\tan^{-1} x+\tanh^{-1}x)+C$

Для $f(0)=0$: $f(0)=\frac{1}{2}(0+0)+C=0\Leftrightarrow C=0$; Итак, $f(x)=\frac{1}{2}(\tan^{-1} x+\tanh^{-1}x)$