Question

Помогите решить пример.
Однородное дифиринциальное уравнение первого порядка.
Пожалуйста, срочно) ​

Answer 1

Пусть $y=ux$, тогда $y'=u'x+u$. Получаем:

$x\cdot (u'x+u)=ux+\sqrt{x^2+u^2x^2}\\ u'\cdot x^2+ux=ux+x\sqrt{1+u^2}\\ u'x=\sqrt{1+u^2}$

Получили линейное диф уравнение с разделяющимися переменными.

$\dfrac{du}{\sqrt{1+u^2}}=\dfrac{dx}{x}~~~\Leftrightarrow~~~ \displaystyle \int \dfrac{du}{\sqrt{1+u^2}}=\int \dfrac{dx}{x}\\ \\ \ln\Big|u+\sqrt{u^2+1}\Big|=\ln |x|+\ln C\\ u+\sqrt{u^2+1}=Cx$

Выполним обратную замену

$\dfrac{y}{x}+\sqrt{\dfrac{y^2}{x^2}+1}=Cx$ — общий интеграл.