Question

ПОМОГИТЕ ОЧЕНЬ СРОЧНО!!
Представьте число 2019 в виде a^b+b^a, где a и b - натуральные числа. ​

Answer 1

Ответ:

2018¹+1²⁰¹⁸=2019

Answer 2

$a^b+b^a\equiv 3(mod\:4)$

Без нарушения общности будем считать, что остаток от деления $a^b$ на 4 не больше, чем остаток от деления $b^a$ на 4.

Тогда есть 2 варианта:

1. $a^b\equiv 0(mod\:4),\: b^a\equiv 3(mod\:4)$. Тогда $b\equiv 3 (mod\: 4)=>a=2k+1,\:k\in N_0 =>a\equiv 1(mod\: 4)$ или $a\equiv 3(mod\: 4)$. Но если $a$ дает остаток 1 или 3 при делении на 4, то никакая степень этого числа не делится на 4. Противоречие с тем, что $a^b\equiv 0(mod\:4)$.
2. $a^b\equiv 1(mod\:4),\: b^a\equiv 2(mod\:4)$. Тогда $b=4l+2,\:l\in N_0, a=1=>2019=1^b+b^1=>b=2018=2016+2=4*504+2$. Значит имеем решение $(1;\:2018)$

В силу симметрии уравнения также имеем решение $(2018;\:1)$

Ответ: $2019=1^{2018}+2018^1$