Question

Не могу решить пример , (dy/dx)+xy=x , сижу очень долго

Answer 1

$\dfrac{dy}{dx}+xy=x~~~~\Rightarrow~~~ y'+xy=x$

Умножим левую и правую части уравнения $\mu(x)$, которое определено соотношением

$\mu (x)=\displaystyle e^{\int x dx}=e^{x^2/2}$

Здесь уравнение имеет вид $y'+P(x)y=Q(x)$, тогда $\mu (x)=e^{\int P(x)dx}$

$y'\cdot e^{x^2/2}+xe^{x^2/2}\cdot y=x\\ \\ \Big(e^{x^2/2}\cdot y\Big)'=x$

Интегрируя обе части уравнения, получим

$e^{x^2/2}\cdot y=\displaystyle \int xdx\\ \\ e^{x^2/2}\cdot y=\dfrac{x^2}{2}+C\\ \\ \ \boxed{y=\left(\dfrac{x^2}{2}+C\right)e^{-x^2/2}}$

Получили общее решение.