Question

Вычислить интегралы
а) $\int\limits^2_1 ({x^{2}+\frac{1}{x} ) } \, dx$
б) $\int\limits^1_0 {xe^{2} } \, dx$
1) Вычислить площадь фигуры, ограниченную линиями
$y=e^{x} ; y=2; x=0$
2) Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси OY фигуры, ограниченной линиями
$y=\sqrt{x} ; y=2; x=0$

Answer 1

$1)\; \; \int\limits^2_1\, (x^2+\frac{1}{x})\, dx=(\frac{x^3}{3}+ln|x|)\Big |_1^2=\frac{8}{3}+ln2-\frac{1}{3}-ln1=\frac{7}{3}+ln2\\\\\\\int\limits^1_0\, xe^{x}\, dx=[\; u=x\; ,\; dv=e^{x}dx\; ,\; du=dx\; ,\; v=e^{x}\; ]=uv-\int v\, du=\\\\=x\, e^{x}\Big |_0^1-\int\limits^1_0\, e^{x}\, dx=e-e^{x}\Big |_0^1=e-e+1=1$

$2)\; \; y=e^{x}\; ,\; \; y=2\; ,\; x=0\\\\e^{x}=2\; \; \Rightarrow \; \; \; x=ln2\\\\S=\int\limits^{ln2}_0\, (2-e^{x})\, dx=(2x-e^{x})\Big |_0^{ln2}=2\, ln2-e^{ln2}-(0-1)=\\\\=2\, ln2-2+1=2\, ln2-1=ln4-lne=ln\frac{4}{e}$

$3)\; \; y=\sqrt{x}\; \; \Rightarrow \; \; x=y^2\\\\y=2\; ,\; \; x=0\\\\V=\pi \int\limits^a_b f^2(y)\, dy=\pi \int\limits^2_0\, (y^2)^2\, dy=\pi \cdot \frac{y^5}{5}\Big |_0^2=\pi \cdot \frac{32}{5}=6,4\, \pi$

Answer 2

Ответ: во вложении Пошаговое объяснение: