Question

решить диф. ур.
(dy/dx)=(xy*cos(x))/(1+y^2)

Answer 1

$\frac{ dy}{dx} =\frac{xycosx}{1+y^2}$

-- уравнение с разделяющимися переменными.

Разделим переменные:

$\frac{1+y^2}{y}dy=xcosxdx$

-- уравнение с разделенными переменными.

Проинтегрируем обе части последнего уравнения:

$\int\frac{1+y^2}{y}dy=\int xcosxdx$

Вычислим записанные интегралы:

$\int\frac{1+y^2}{y}dy=\int(\frac{1}{y}+y)dy=ln|y|+\frac{y^2}{2}+C_1$

$\int xcosxdx=[u=x, du=dx; dv=cosxdx, v=sinx]=\\=xsinx-\int sinxdx=xsinx+cosx+C_2$

Получаем

$ln|y|+\frac{y^2}{2}+C_1=xsinx+cosx+C_2\\ ln|y|+\frac{y^2}{2}=xsinx+cosx+C$

- общий интеграл данного уравнения, где $C=C_2-C_1$