Question

Условие и вопрос на рисунке!!! С полным оформлением!!!

Answer 1

Ответ:

x∈(-∞; 0,125)∪{0,6}

Объяснение:

Рассматривается неравенство:

$\frac{|x|*(5x+1)^{6} -4096*|x|}{\frac{1}{|x-\frac{1}{8}|} -\frac{4}{|3,5-2x|} } \geq 0$

Определим область допустимых значений (ОДЗ): x-1/8≠0 или x≠0,125, 3,5-2x≠0 или x≠1,75 и

$\frac{1}{|x-\frac{1}{8}|} -\frac{4}{|3,5-2x|} \neq 0$.

Упростим числитель дроби:

$|x|*(5x+1)^{6} -4096*|x|=|x|*((5x+1)^{6} -4096)=\\=|x|*((5x+1)^{6} -4^{6})=|x|*(((5x+1)^{2})^{3}  -16^{3})=\\=|x|*((5x+1)^{2} -16)*(((5x+1)^{2})^{2}+(5x+1)^{2}*16+16^{2})=\\=|x|*((5x+1)^{2} -4^{2} )*((5x+1)^{4}+(5x+1)^{2}*16+16^{2})=$

$=|x|*(5x+1-4)*(5x+1+4)*((5x+1)^{4}+(5x+1)^{2}*16+16^{2})=\\=|x|*(5x-3)*(5x+5)*((5x+1)^{4}+(5x+1)^{2}*16+16^{2})$

Но выражение (5x+1)⁴+(5x+1)²*16+16²≥16²>0 и поэтому для знака неравенства не влияет, поэтому в числителе достаточно рассмотреть выражение |x|·(5x-3)·5·(x+1). Далее, 5·|x|≥0 и поэтому на знак неравенства не влияет. Тогда в числителе достаточно рассмотреть выражение (5x-3)·(x+1).

Упростим знаменатель дроби на основе ОДЗ:

$\frac{1}{|x-\frac{1}{8}|} -\frac{4}{|3,5-2x|} =\frac{1}{|x-0,125|} -\frac{2}{|1,75-x|}=\frac{|1,75-x|-2*|x-0,125|}{|x-0,125|*|1,75-x|}$

В силу ОДЗ |x-0,125|*|1,75-x|>0 и это выражение на знак неравенства не влияет. Тогда в знаменателе достаточно рассмотреть выражение

|1,75-x|-2·|x-0,125|.

Итак, получили следующее равносильное неравенство

$\frac{(5x-3)*(x+1)}{|1,75-x|-2*|x-0,125|} \geq 0$

или же опять в силу ОДЗ, то есть из-за |1,75-x|-2*|x-0,125|≠0 неравенство перепишем в следующем равносильном виде:

(5x-3)·(x+1)·(|1,75-x|-2·|x-0,125|)≥0

Чтобы применить метод интервалов определим нули выражений в скобке левой части и выражений в модуле:

5x-3=0 ⇒ x₁= 3/5 = 0,6

x+1 =0 ⇒ x₂ = -1

1,75-x=0 ⇒ x₃ = 1,75

x-0,125 = 0 ⇒ x₄ = 0,125

Избавимся от знака модуля:

1) x<0,125: 1,75-x>0, x-0,125<0

|1,75-x|-2·|x-0,125|=(1,75-x)-2·(-(x-0,125))=1,75-x+2·x-0,25=x-1,5≠0 ⇒x≠1,5

Тогда знак выражения (5x-3)·(x+1)·(x-1,5)

             +·+·+=+             0             -·+·-=+

-∞----------[-100]-----------[-1]---------[0]-----------(0,125)

Так как 1,5∉(-∞; 0,125), то получаем множество x∈(-∞; 0,125)

2) 0,125<x<1,75: 1,75-x>0, x-0,125>0

|1,75-x|-2·|x-0,125|=(1,75-x)-2·(x-0,125)=1,75-x-2·x+0,25= -3x+2≠0 ⇒x≠2/3

Тогда знак выражения (5x-3)·(x+1)·(-3x+2)

                  -·+·+=-                 0                +·+·-=-

(0,125)--------[0,5]-------------[0,6]------------[1]--------------(1,75)

Так как 2/3≠0,6, то получаем множество x∈{0,6}

3) 1,75<x: 1,75-x<0, x-0,125>0

|1,75-x|-2·|x-0,125|=-(1,75-x)-2·(x-0,125)=-1,75+x-2·x+0,25= -x-1,5≠0 ⇒x≠-1,5

Тогда знак выражения (5x-3)·(x+1)·(-x-1,5)

                     +·+·-=-

(1,75)--------------[100]---------------->+∞

Получаем множество x∈∅

Ответ: x∈(-∞; 0,125)∪{0,6}