Question

Помогите разобраться как решать такие уравнения, дам 80 баллов​

Answer 1

(x²-2x)²+12(x-1)²-1=0

Замена: (x-1)²=t

              x²-2x+1=t²

              x²-2x=t²-1

(t²-1)²+12t-1=0

t⁴-2t²+1+12t-1=0

t⁴+10t²=0

t²(t²+10)=0

t²=0    или   t²+10=0

t=0               t²= -10

                   t∈∅

Обратная замена: t=(x-1)²

                                (x-1)²=0

                                 x-1=0

                                 x=1

Ответ: 1

3x³+13x²+13x+3=0

Такие уравнения называются симметрическими уравнениями 3-й степени, т.к.  они имеют вид   ax³+bx²+bx+a=0. Уравнения данного вида обладают некоторыми свойствами и одно из них то, что у них обязательно есть корень х= -1.

При решении, конечно же можно действовать методом группировки:

3x³+13x²+13x+3=0

(3x³+3)+(13x²+13x)=0

3(x³+1)+13x(x+1)=0

3(x+1)(x²-x+1)+13x(x+1)=0

(x+1)(3x²-3x+3)+13x(x+1)=0

(x+1)(3x²-3x+3+13x)=0

(x+1)(3x²+10x+3)=0

x+1=0  или  3x²+10x+3=0

x₁=-1              D=64=8²

                    x₂=-1/3; x₃=-3

Но, можно сразу воспользоваться вышеуказанным свойством (х=-1) и разделить многочлен 3x³+13x²+13x+3 на х+1

3x³+13x²+13x+3   |   x+1

3x³+3x²                   3x²+10x+3

     10x²+13x

     10x²+10x

               3x+3

               3x+3

                     0

Таким образом, без громоздких преобразований получаем произведение множителей (x+1)(3x²+10x+3)=0

Можно разложить на множители и ещё быстрее,  если воспользоваться  схемой Горнера для деления многочлена:

        3  13   13   3

-1      3   10   3   0  - этот коэффициенты трёхчлена

(x+1)(3x²+10x+3)=0

Ответ:  -3; -1; -1/3