Question

Найти все значения a и b, при которых многочлен P_3 (x)=x^3+ax^2-x+b делится на x^2-1.

Answer 1

Теорема Безу утверждает, что остаток от деления многочлена ${\displaystyle P(x)}$ на двучлен ${\displaystyle (x-a)}$ равен ${\displaystyle P(a)}$.

Данный многочлен делится на (x-1)(x+1). По теореме Безу

$P_3(1)=1^3+a\cdot 1^2-1+b=a+b=0\\ P_3(-1)=(-1)^3+a\cdot (-1)^2-(-1)+b=a+b=0$

Решив как систему уравнений, мы получим a + b =0 откуда a = -b, где $b \in \mathbb{R}$