Question

Задача по математики. Если можно с решением. Пожалуйста !
Наибольшее значение выражения 5 cosx + 3sinx

Answer 1

Дана функция у = 5 cosx + 3sinx.

Максимум находится по производной, равной нулю.

y' = 3cosx - 5sinx = 0.

Разделим на cosx:  (3cosx/cosx) - (5sinx/cosx) = 0.

5tgx = 3, tgx = (3/5).

Значит, максимум функции соответствует значению переменной

x = πn + arc tg(3/5).

Выразим синус и косинус через тангенс.

sinx = tgx/(√(1 + tg²x) = (3/5)/(√(1 + (9/25)) = 3/√34.

cosx = 1/(√(1 + tg²x) = 1/(√(1 + (9/25)) = 5/√34.

Подставим значение переменной в уравнение функции.

у = (5*5/√34) + (3*3/√34) = 34/√34 = √34.

Это и есть максимум заданного выражения.

Можно применить другой принцип.

3sinx + 5cosx = √(3² + 5²)*sin(x + φ) = √34*sin(x+φ).

Так как функция синуса имеет максимум 1, то ответ √34.