Question

dy/dx-4xy=-4x^3
Пожалуйста помогите, очень прошу!

Answer 1

$\frac{dy}{dx}-4xy=4x^3\\\\y'-4xy=4x^3\\\\y=uv\; ,\; \; y'=u'v+uv'\\\\u'v+uv'-4xuv=4x^3\\\\u'v+u\, (v'-4xv)=4x^3\\\\a)\; \; v'-4xv=0\; \; ,\; \; \int \frac{dv}{v}=4\int x\, dx\; \; ,\; \; ln|v|=2x^2\; \; ,\; \; v=e^{2x^2}\\\\b)\; \; u'v=4x^3\; \; ,\; \; \frac{du}{dx}\cdot e^{2x^2}=4x^3\; \; ,\; \; \int du=\int 4x^3\cdot e^{-2x^2}\, dx$

$\int 4x^2\cdot (x\cdot e^{2x^2})\, dx=\Big [\; u=4x^2\; ,\; du=8x\, dx\; ,\; dv=x\cdot e^{-2x^2}\, dx\; ,\\\\v=-\frac{1}{4}\int e^{-2x^2}\cdot (-4x)\, dx=-\frac{1}{4}\cdot e^{-2x^2}\; \Big ]=uv-\int v\, du=\\\\=-x^2\cdot e^{-2x^2}+2\int  x\cdot e^{-2x^2}\, dx=-x^2\cdot e^{-2x^2}-\frac{1}{2}\cdot e^{-2x^2}+C\; ,\\\\u=-e^{-2x^2}\cdot (x^2+\frac{1}{2}\, )+C\\\\c)\; \; y=uv=-e^{2x^2}}\cdot \Big (e^{-2x^2}\cdot (x^2+\frac{1}{2}\, )+C\Big )=-(x^2+\frac{1}{2}\, )-C\cdot e^{-2x^2}$