Question

1) Дана функция f(x) и уравнение касательной к ней в точке x0 : y – y0 = k(x – x0). Найдите неизвестные величины.
f(x) = sinx – 2tgx + 3, y – y0 = k(x + π).
2) Найдите значение производной функции в указанной точке.
y = arcsin²cosx, x0=π/3

Answer 1

$1)\; \; f(x)=sinx-2tgx+3\\\\y-y_0=k(x-x_0)\; \; ,\; \; y_0=f(x_0)\; \; ,\; \; k=f'(x_0)\\\\y-y_0=k(x+\pi )\; \; \to \; \; x_0=-\pi \\\\f'(x)=cosx-2\cdot \frac{1}{cos^2x}\\\\k=f'(x_0)=f'(-\pi )=cos(-\pi )-\frac{2}{cos^2(-\pi )}=-1-\frac{2}{1}=-3\\\\f(x_0)=f(-\pi )=sin(-\pi )-2\cdot tg(-\pi )+3=0-2\cdot 0+3=3\\\\y-3=-3(x+\pi )\; \; \Rightarrow \; \; \; \underline {y=-3x+3-3\pi }$

$2)\; \; y=arcsin^2(cosx)\; \; ,\; \; x_0=\frac{\pi }{3}\; \; \to \; \; sinx>0\\\\y'=2\cdot arcsin(cosx)\cdot \frac{1}{\sqrt{1-cos^2x}}\cdot (-sinx)=-\frac{2\cdot sinx\, \cdot \, arcsin(cosx)}{\sqrt{sin^2x}}=\\\\=-\frac{2\cdot sinx\, \cdot arcsin(cosx)}{|sinx|}=-\frac{2\cdot sinx\, \cdot arcsin(cosx)}{sinx}=-2\cdot arcsin(cosx)\\\\y'(\frac{\pi}{3})=-2\cdot arcsin(cos\frac{\pi}{3})=-2\cdot arcsin\frac{1}{2}=-2\cdot \frac{\pi}{6} =-\frac{\pi}{3}$

Answer 2

Пояснение к решению и решение, вместе с ответом во вложении