Question

Исследовать ряд на сходимость; если сходиться, то абсолютно или условно. Помогите пожалуйста очень нужно.

Answer 1

$(\dfrac{1}{\sqrt{n+7}})'=-\dfrac{1}{n+7}\cdot \dfrac{1}{2\sqrt{n+7}}<0\: \forall n \in N$, а значит члены ряда $\sum \dfrac{(-1)^{n+1}}{\sqrt{n+7}}$ убывают по модулю. А значит, т.к. ряд знакочередующийся, ряд сходится по признаку Лейбница.

Теперь рассмотрим ряд из модулей $\sum \dfrac{1}{\sqrt{n+7}}$.

$\dfrac{1}{\sqrt{n+7}}> \dfrac{1}{(8n)^\frac{1}{2}}\\ \sum \dfrac{1}{(8n)^\frac{1}{2}}$

расходится по степенному признаку. Тогда $\sum \dfrac{1}{\sqrt{n+7}}$ расходится по признаку сравнения.

Значит исходный ряд сходится условно