Ответы
1) x y z B 32 Определитель
1 -2 1 1
-5 1 0 3
-4 -11 3 20
Заменяем 1-й столбец на вектор результатов B:
1 -2 1 -32 Определитель
3 1 0
20 -11 3
Заменяем 2-й столбец на вектор результатов B:
1 1 1 -64 Определитель
-5 3 0
-4 20 3
Заменяем 3-й столбец на вектор результатов B:
1 -2 1 -64 Определитель
-5 1 3
-4 -11 20
x = -32/ 3 = -1
y = -64/ 32 = -2
z = -64/ 32 = -2.
2) Дано уравнение прямой как линия пересечения плоскостей
x + 5y - 4 = 0
2x - y + z + 2 = 0.
В качестве опорной точки берём точку, лежащую в плоскости Oxy, то есть задаём значение z = 0.
x + 5y - 4 = 0 умножим на -2: -2x - 10y + 8 = 0,
2x - y + 2 = 0 2x - y + 2 = 0.
Сложим два уравнения : -11y + 10 = 0, отсюда y = -11/-10 = 11/10.
x = 4 -5y = 4 - 5*(11/10) = -15/100 = -3/2.
Получили точку на прямой ((-3/2); (11/10); 0).
Теперь найдём направляющий вектор прямой как векторное произведение нормальных векторов плоскостей (это коэффициенты в уравнениях плоскостей: (1; 5; 0) и (2; -1; 1)).
i j k | i j
1 5 0 | 1 5
2 -1 1 | 2 -1 = 5i - 0 - 1k - 1j - 0 - 10k = 5i - 1j - 11k.
Нашли направляющий вектор (5; -1; -11).
Получаем каноническое уравнение прямой по точке ((-3/2); (11/10); 0) и направляющему вектору: (5; -1; -11).
(x + (3/2))/5 = (y - (11/10))/(-1) = z/(-11).
4) Координаты вектора а(1; 4; 2).
Примем координаты вектора х(1b; 4b; 2b).
Скалярное произведение их равно 7.
То есть 1*1b + 4*4b + 2*2b = 7,
21b = 7, отсюда коэффициент b = 7/21 = 1/3.
Получаем координаты вектора х((1/3); 4/3; (2/3)).