Question

решить уравнение
$x+\sqrt{17-x^{2} } +x\sqrt{17-x^{2}} =9$

Answer 1

Умножим обе части уравнения на 2: $2x+2\sqrt{17-x^{2}}+2x\sqrt{17-x^{2}}=18$; Теперь рассмотрим выражение

$(\sqrt{17-x^{2}}+x)^{2}=17+2x\sqrt{17-x^{2}}$; То есть почти то, что мы имели. Будем "достраивать". С учетом вышеизложенного замечания уравнение примет вид $(\sqrt{17-x^{2}}+x)^{2}+2(x+\sqrt{17-x^{2}})+1=36$;

Слева - квадрат суммы: $(\sqrt{17-x^{2}}+x+1)^{2}=36$; Итак, $\sqrt{17-x^{2}}+x+1=\pm 6$; Рассмотрим случай с +6: $\sqrt{17-x^{2}}=5-x\Rightarrow 17-x^{2}=25-10x+x^{2}  \Leftrightarrow x=1,\; x=4$. Проверяем эти корни - подходят. С -6 можно не проверять: минимум рассматриваемой функции равен $\sqrt{17-(-\sqrt{17})^{2}}-\sqrt{17}+1=1-\sqrt{17}>-6$;

Ответ: 1, 4